Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60425 / 39905
↖ ↑ ↗
← N 57.372457°
W 14.037781°		 ← 164.64 m → N 57.372457°
W 14.035034°		 →
↑
164.63 m
↓
↑
164.63 m
↓
N 57.370977°
W 14.037781°		 ← 164.65 m →
27 105 m²		 N 57.370977°
W 14.035034°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60425 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39905 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461009979248047 y=0.304454803466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461009979248047 × 217)
    floor (0.461009979248047 × 131072)
    floor (60425.5)     		tx = 60425
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.304454803466797 × 217)
    floor (0.304454803466797 × 131072)
    floor (39905.5)     		ty = 39905
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60425 / 39905 ti = "17/60425/39905"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60425/39905.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60425 ÷ 217
    60425 ÷ 131072     		x = 0.461006164550781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39905 ÷ 217
    39905 ÷ 131072     		y = 0.304450988769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461006164550781 × 2 - 1) × π
    -0.0779876708984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24500549
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.304450988769531 × 2 - 1) × π
    0.391098022460938 × 3.1415926535     		Φ = 1.22867067416166
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24500549} λ = -0.24500549}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22867067416166))-π/2
    2×atan(3.41668462896883)-π/2
    2×1.28606730556478-π/2
    2.57213461112956-1.57079632675     		φ = 1.00133828
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24500549} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.037781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00133828 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.372457°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60425 KachelY 39905 -0.24500549 1.00133828 -14.037781 57.372457
    Oben rechts KachelX + 1 60426 KachelY 39905 -0.24495756 1.00133828 -14.035034 57.372457
    Unten links KachelX 60425 KachelY + 1 39906 -0.24500549 1.00131244 -14.037781 57.370977
    Unten rechts KachelX + 1 60426 KachelY + 1 39906 -0.24495756 1.00131244 -14.035034 57.370977
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00133828-1.00131244) × R
    2.58399999999437e-05 × 6371000     		dl = 164.626639999641m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00133828-1.00131244) × R
    2.58399999999437e-05 × 6371000     		dr = 164.626639999641m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24500549--0.24495756) × cos(1.00133828) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.539175698575889 × 6371000     		do = 164.643785843807m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24500549--0.24495756) × cos(1.00131244) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.53919746067093 × 6371000     		du = 164.650431161326m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00133828)-sin(1.00131244))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.539175698575889-0.53919746067093)×R²
    abs(-0.24495756--0.24500549)×2.17620950405673e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.17620950405673e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.17620950405673e-05×40589641000000     		ar = 27105.3002598744m²