Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 60424 / 60039
↖ ↑ ↗
← S 81.626953°
E151.918945°		 ← 88.95 m → S 81.626953°
E151.924439°		 →
↑
88.94 m
↓
↑
88.94 m
↓
S 81.627753°
E151.918945°		 ← 88.94 m →
7 911 m²		 S 81.627753°
E151.924439°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60424 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60039 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.922004699707031 y=0.916130065917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.922004699707031 × 216)
    floor (0.922004699707031 × 65536)
    floor (60424.5)     		tx = 60424
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.916130065917969 × 216)
    floor (0.916130065917969 × 65536)
    floor (60039.5)     		ty = 60039
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 60424 / 60039 ti = "16/60424/60039"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/60424/60039.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60424 ÷ 216
    60424 ÷ 65536     		x = 0.9219970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60039 ÷ 216
    60039 ÷ 65536     		y = 0.916122436523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9219970703125 × 2 - 1) × π
    0.843994140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.65148579
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.916122436523438 × 2 - 1) × π
    -0.832244873046875 × 3.1415926535     		Φ = -2.6145743790771
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.65148579} λ = 2.65148579}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.6145743790771))-π/2
    2×atan(0.0731989370659621)-π/2
    2×0.0730686203981131-π/2
    0.146137240796226-1.57079632675     		φ = -1.42465909
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.65148579} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 151.918945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42465909 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.626953°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60424 KachelY 60039 2.65148579 -1.42465909 151.918945 -81.626953
    Oben rechts KachelX + 1 60425 KachelY 60039 2.65158167 -1.42465909 151.924439 -81.626953
    Unten links KachelX 60424 KachelY + 1 60040 2.65148579 -1.42467305 151.918945 -81.627753
    Unten rechts KachelX + 1 60425 KachelY + 1 60040 2.65158167 -1.42467305 151.924439 -81.627753
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42465909--1.42467305) × R
    1.39599999999795e-05 × 6371000     		dl = 88.9391599998697m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42465909--1.42467305) × R
    1.39599999999795e-05 × 6371000     		dr = 88.9391599998697m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.65148579-2.65158167) × cos(-1.42465909) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.145617638556328 × 6371000     		do = 88.9507500261798m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.65148579-2.65158167) × cos(-1.42467305) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.145603827342562 × 6371000     		du = 88.9423134258103m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42465909)-sin(-1.42467305))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145617638556328-0.145603827342562)×R²
    abs(2.65158167-2.65148579)×1.38112137659241e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.38112137659241e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.38112137659241e-05×40589641000000     		ar = 7910.82981668761m²