Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60424 / 39911
↖ ↑ ↗
← N 57.363571°
W 14.040527°		 ← 164.72 m → N 57.363571°
W 14.037781°		 →
↑
164.75 m
↓
↑
164.75 m
↓
N 57.362090°
W 14.040527°		 ← 164.72 m →
27 139 m²		 N 57.362090°
W 14.037781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60424 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39911 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461002349853516 y=0.304500579833984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461002349853516 × 217)
    floor (0.461002349853516 × 131072)
    floor (60424.5)     		tx = 60424
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.304500579833984 × 217)
    floor (0.304500579833984 × 131072)
    floor (39911.5)     		ty = 39911
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60424 / 39911 ti = "17/60424/39911"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60424/39911.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60424 ÷ 217
    60424 ÷ 131072     		x = 0.46099853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39911 ÷ 217
    39911 ÷ 131072     		y = 0.304496765136719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46099853515625 × 2 - 1) × π
    -0.0780029296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24505343
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.304496765136719 × 2 - 1) × π
    0.391006469726562 × 3.1415926535     		Φ = 1.22838305276394
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24505343} λ = -0.24505343}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22838305276394))-π/2
    2×atan(3.41570205867118)-π/2
    2×1.28598975693956-π/2
    2.57197951387913-1.57079632675     		φ = 1.00118319
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24505343} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.040527°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00118319 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.363571°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60424 KachelY 39911 -0.24505343 1.00118319 -14.040527 57.363571
    Oben rechts KachelX + 1 60425 KachelY 39911 -0.24500549 1.00118319 -14.037781 57.363571
    Unten links KachelX 60424 KachelY + 1 39912 -0.24505343 1.00115733 -14.040527 57.362090
    Unten rechts KachelX + 1 60425 KachelY + 1 39912 -0.24500549 1.00115733 -14.037781 57.362090
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00118319-1.00115733) × R
    2.58599999998221e-05 × 6371000     		dl = 164.754059998867m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00118319-1.00115733) × R
    2.58599999998221e-05 × 6371000     		dr = 164.754059998867m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24505343--0.24500549) × cos(1.00118319) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.53930630785095 × 6371000     		do = 164.718028162032m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24505343--0.24500549) × cos(1.00115733) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.539328084626839 × 6371000     		du = 164.724679349922m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00118319)-sin(1.00115733))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.53930630785095-0.539328084626839)×R²
    abs(-0.24500549--0.24505343)×2.17767758895482e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.17767758895482e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.17767758895482e-05×40589641000000     		ar = 27138.5118014826m²