Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60422 / 56326
↖ ↑ ↗
← N 24.512142°
W 14.046020°		 ← 277.84 m → N 24.512142°
W 14.043274°		 →
↑
277.90 m
↓
↑
277.90 m
↓
N 24.509642°
W 14.046020°		 ← 277.85 m →
77 214 m²		 N 24.509642°
W 14.043274°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60422 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56326 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460987091064453 y=0.429737091064453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460987091064453 × 217)
    floor (0.460987091064453 × 131072)
    floor (60422.5)     		tx = 60422
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429737091064453 × 217)
    floor (0.429737091064453 × 131072)
    floor (56326.5)     		ty = 56326
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60422 / 56326 ti = "17/60422/56326"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60422/56326.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60422 ÷ 217
    60422 ÷ 131072     		x = 0.460983276367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56326 ÷ 217
    56326 ÷ 131072     		y = 0.429733276367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460983276367188 × 2 - 1) × π
    -0.078033447265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24514930
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.429733276367188 × 2 - 1) × π
    0.140533447265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.441498845500717
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24514930} λ = -0.24514930}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.441498845500717))-π/2
    2×atan(1.5550362317192)-π/2
    2×0.999306951041771-π/2
    1.99861390208354-1.57079632675     		φ = 0.42781758
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24514930} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.046020°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42781758 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.512142°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60422 KachelY 56326 -0.24514930 0.42781758 -14.046020 24.512142
    Oben rechts KachelX + 1 60423 KachelY 56326 -0.24510137 0.42781758 -14.043274 24.512142
    Unten links KachelX 60422 KachelY + 1 56327 -0.24514930 0.42777396 -14.046020 24.509642
    Unten rechts KachelX + 1 60423 KachelY + 1 56327 -0.24510137 0.42777396 -14.043274 24.509642
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42781758-0.42777396) × R
    4.36199999999665e-05 × 6371000     		dl = 277.903019999786m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42781758-0.42777396) × R
    4.36199999999665e-05 × 6371000     		dr = 277.903019999786m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24514930--0.24510137) × cos(0.42781758) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.909873371447753 × 6371000     		do = 277.840779748078m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24514930--0.24510137) × cos(0.42777396) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.909891467912346 × 6371000     		du = 277.846305721242m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42781758)-sin(0.42777396))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.909873371447753-0.909891467912346)×R²
    abs(-0.24510137--0.24514930)×1.80964645920545e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.80964645920545e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.80964645920545e-05×40589641000000     		ar = 77213.5596256407m²