Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60422 / 41932
↖ ↑ ↗
← N 54.245970°
W 14.046020°		 ← 178.43 m → N 54.245970°
W 14.043274°		 →
↑
178.45 m
↓
↑
178.45 m
↓
N 54.244366°
W 14.046020°		 ← 178.43 m →
31 841 m²		 N 54.244366°
W 14.043274°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60422 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41932 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460987091064453 y=0.319919586181641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460987091064453 × 217)
    floor (0.460987091064453 × 131072)
    floor (60422.5)     		tx = 60422
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319919586181641 × 217)
    floor (0.319919586181641 × 131072)
    floor (41932.5)     		ty = 41932
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60422 / 41932 ti = "17/60422/41932"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60422/41932.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60422 ÷ 217
    60422 ÷ 131072     		x = 0.460983276367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41932 ÷ 217
    41932 ÷ 131072     		y = 0.319915771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460983276367188 × 2 - 1) × π
    -0.078033447265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24514930
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.319915771484375 × 2 - 1) × π
    0.36016845703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.13150257863181
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24514930} λ = -0.24514930}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13150257863181))-π/2
    2×atan(3.10031146378186)-π/2
    2×1.25878355824276-π/2
    2.51756711648552-1.57079632675     		φ = 0.94677079
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24514930} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.046020°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94677079 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.245970°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60422 KachelY 41932 -0.24514930 0.94677079 -14.046020 54.245970
    Oben rechts KachelX + 1 60423 KachelY 41932 -0.24510137 0.94677079 -14.043274 54.245970
    Unten links KachelX 60422 KachelY + 1 41933 -0.24514930 0.94674278 -14.046020 54.244366
    Unten rechts KachelX + 1 60423 KachelY + 1 41933 -0.24510137 0.94674278 -14.043274 54.244366
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94677079-0.94674278) × R
    2.80099999999672e-05 × 6371000     		dl = 178.451709999791m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94677079-0.94674278) × R
    2.80099999999672e-05 × 6371000     		dr = 178.451709999791m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24514930--0.24510137) × cos(0.94677079) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.584306741546992 × 6371000     		do = 178.425092741377m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24514930--0.24510137) × cos(0.94674278) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.58432947235403 × 6371000     		du = 178.432033866758m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94677079)-sin(0.94674278))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.584306741546992-0.58432947235403)×R²
    abs(-0.24510137--0.24514930)×2.27308070379628e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.27308070379628e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.27308070379628e-05×40589641000000     		ar = 31840.8822364086m²