Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60422 / 39913
↖ ↑ ↗
← N 57.360609°
W 14.046020°		 ← 164.70 m → N 57.360609°
W 14.043274°		 →
↑
164.75 m
↓
↑
164.75 m
↓
N 57.359127°
W 14.046020°		 ← 164.70 m →
27 135 m²		 N 57.359127°
W 14.043274°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60422 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39913 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460987091064453 y=0.304515838623047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460987091064453 × 217)
    floor (0.460987091064453 × 131072)
    floor (60422.5)     		tx = 60422
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.304515838623047 × 217)
    floor (0.304515838623047 × 131072)
    floor (39913.5)     		ty = 39913
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60422 / 39913 ti = "17/60422/39913"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60422/39913.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60422 ÷ 217
    60422 ÷ 131072     		x = 0.460983276367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39913 ÷ 217
    39913 ÷ 131072     		y = 0.304512023925781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460983276367188 × 2 - 1) × π
    -0.078033447265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24514930
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.304512023925781 × 2 - 1) × π
    0.390975952148438 × 3.1415926535     		Φ = 1.2282871789647
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24514930} λ = -0.24514930}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2282871789647))-π/2
    2×atan(3.41537459803544)-π/2
    2×1.28596390322346-π/2
    2.57192780644692-1.57079632675     		φ = 1.00113148
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24514930} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.046020°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00113148 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.360609°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60422 KachelY 39913 -0.24514930 1.00113148 -14.046020 57.360609
    Oben rechts KachelX + 1 60423 KachelY 39913 -0.24510137 1.00113148 -14.043274 57.360609
    Unten links KachelX 60422 KachelY + 1 39914 -0.24514930 1.00110562 -14.046020 57.359127
    Unten rechts KachelX + 1 60423 KachelY + 1 39914 -0.24510137 1.00110562 -14.043274 57.359127
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00113148-1.00110562) × R
    2.58600000000442e-05 × 6371000     		dl = 164.754060000281m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00113148-1.00110562) × R
    2.58600000000442e-05 × 6371000     		dr = 164.754060000281m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24514930--0.24510137) × cos(1.00113148) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.539349852621241 × 6371000     		do = 164.696965876533m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24514930--0.24510137) × cos(1.00110562) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.539371628675916 × 6371000     		du = 164.703615456794m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00113148)-sin(1.00110562))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.539349852621241-0.539371628675916)×R²
    abs(-0.24510137--0.24514930)×2.17760546745716e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.17760546745716e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.17760546745716e-05×40589641000000     		ar = 27135.0415720684m²