Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60421 / 56325
↖ ↑ ↗
← N 24.514640°
W 14.048767°		 ← 277.89 m → N 24.514640°
W 14.046020°		 →
↑
277.84 m
↓
↑
277.84 m
↓
N 24.512142°
W 14.048767°		 ← 277.90 m →
77 210 m²		 N 24.512142°
W 14.046020°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60421 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56325 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460979461669922 y=0.429729461669922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460979461669922 × 217)
    floor (0.460979461669922 × 131072)
    floor (60421.5)     		tx = 60421
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429729461669922 × 217)
    floor (0.429729461669922 × 131072)
    floor (56325.5)     		ty = 56325
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60421 / 56325 ti = "17/60421/56325"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60421/56325.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60421 ÷ 217
    60421 ÷ 131072     		x = 0.460975646972656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56325 ÷ 217
    56325 ÷ 131072     		y = 0.429725646972656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460975646972656 × 2 - 1) × π
    -0.0780487060546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24519724
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.429725646972656 × 2 - 1) × π
    0.140548706054688 × 3.1415926535     		Φ = 0.441546782400337
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24519724} λ = -0.24519724}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.441546782400337))-π/2
    2×atan(1.55511077712167)-π/2
    2×0.999328759079185-π/2
    1.99865751815837-1.57079632675     		φ = 0.42786119
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24519724} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.048767°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42786119 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.514640°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60421 KachelY 56325 -0.24519724 0.42786119 -14.048767 24.514640
    Oben rechts KachelX + 1 60422 KachelY 56325 -0.24514930 0.42786119 -14.046020 24.514640
    Unten links KachelX 60421 KachelY + 1 56326 -0.24519724 0.42781758 -14.048767 24.512142
    Unten rechts KachelX + 1 60422 KachelY + 1 56326 -0.24514930 0.42781758 -14.046020 24.512142
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42786119-0.42781758) × R
    4.36100000000272e-05 × 6371000     		dl = 277.839310000174m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42786119-0.42781758) × R
    4.36100000000272e-05 × 6371000     		dr = 277.839310000174m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24519724--0.24514930) × cos(0.42786119) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.909855277401199 × 6371000     		do = 277.893221393306m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24519724--0.24514930) × cos(0.42781758) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.909873371447753 × 6371000     		du = 277.898747780865m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42786119)-sin(0.42781758))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.909855277401199-0.909873371447753)×R²
    abs(-0.24514930--0.24519724)×1.80940465546175e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.80940465546175e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.80940465546175e-05×40589641000000     		ar = 77210.4286217499m²