Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60421 / 41933
↖ ↑ ↗
← N 54.244366°
W 14.048767°		 ← 178.47 m → N 54.244366°
W 14.046020°		 →
↑
178.45 m
↓
↑
178.45 m
↓
N 54.242761°
W 14.048767°		 ← 178.48 m →
31 849 m²		 N 54.242761°
W 14.046020°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60421 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41933 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460979461669922 y=0.319927215576172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460979461669922 × 217)
    floor (0.460979461669922 × 131072)
    floor (60421.5)     		tx = 60421
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319927215576172 × 217)
    floor (0.319927215576172 × 131072)
    floor (41933.5)     		ty = 41933
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60421 / 41933 ti = "17/60421/41933"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60421/41933.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60421 ÷ 217
    60421 ÷ 131072     		x = 0.460975646972656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41933 ÷ 217
    41933 ÷ 131072     		y = 0.319923400878906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460975646972656 × 2 - 1) × π
    -0.0780487060546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24519724
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.319923400878906 × 2 - 1) × π
    0.360153198242188 × 3.1415926535     		Φ = 1.13145464173219
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24519724} λ = -0.24519724}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13145464173219))-π/2
    2×atan(3.10016284802455)-π/2
    2×1.25876955304353-π/2
    2.51753910608707-1.57079632675     		φ = 0.94674278
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24519724} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.048767°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94674278 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.244366°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60421 KachelY 41933 -0.24519724 0.94674278 -14.048767 54.244366
    Oben rechts KachelX + 1 60422 KachelY 41933 -0.24514930 0.94674278 -14.046020 54.244366
    Unten links KachelX 60421 KachelY + 1 41934 -0.24519724 0.94671477 -14.048767 54.242761
    Unten rechts KachelX + 1 60422 KachelY + 1 41934 -0.24514930 0.94671477 -14.046020 54.242761
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94674278-0.94671477) × R
    2.80099999999672e-05 × 6371000     		dl = 178.451709999791m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94674278-0.94671477) × R
    2.80099999999672e-05 × 6371000     		dr = 178.451709999791m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24519724--0.24514930) × cos(0.94674278) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.58432947235403 × 6371000     		do = 178.469261497629m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24519724--0.24514930) × cos(0.94671477) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.584352202702626 × 6371000     		du = 178.476203931169m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94674278)-sin(0.94671477))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.58432947235403-0.584352202702626)×R²
    abs(-0.24514930--0.24519724)×2.27303485964558e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.27303485964558e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.27303485964558e-05×40589641000000     		ar = 31848.7643432105m²