Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60420 / 39903
↖ ↑ ↗
← N 57.375420°
W 14.051514°		 ← 164.66 m → N 57.375420°
W 14.048767°		 →
↑
164.69 m
↓
↑
164.69 m
↓
N 57.373938°
W 14.051514°		 ← 164.67 m →
27 119 m²		 N 57.373938°
W 14.048767°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60420 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39903 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460971832275391 y=0.304439544677734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460971832275391 × 217)
    floor (0.460971832275391 × 131072)
    floor (60420.5)     		tx = 60420
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.304439544677734 × 217)
    floor (0.304439544677734 × 131072)
    floor (39903.5)     		ty = 39903
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60420 / 39903 ti = "17/60420/39903"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60420/39903.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60420 ÷ 217
    60420 ÷ 131072     		x = 0.460968017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39903 ÷ 217
    39903 ÷ 131072     		y = 0.304435729980469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460968017578125 × 2 - 1) × π
    -0.07806396484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24524518
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.304435729980469 × 2 - 1) × π
    0.391128540039062 × 3.1415926535     		Φ = 1.2287665479609
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24524518} λ = -0.24524518}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2287665479609))-π/2
    2×atan(3.41701221520824)-π/2
    2×1.28609315093249-π/2
    2.57218630186497-1.57079632675     		φ = 1.00138998
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24524518} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.051514°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00138998 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.375420°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60420 KachelY 39903 -0.24524518 1.00138998 -14.051514 57.375420
    Oben rechts KachelX + 1 60421 KachelY 39903 -0.24519724 1.00138998 -14.048767 57.375420
    Unten links KachelX 60420 KachelY + 1 39904 -0.24524518 1.00136413 -14.051514 57.373938
    Unten rechts KachelX + 1 60421 KachelY + 1 39904 -0.24519724 1.00136413 -14.048767 57.373938
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00138998-1.00136413) × R
    2.58499999998829e-05 × 6371000     		dl = 164.690349999254m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00138998-1.00136413) × R
    2.58499999998829e-05 × 6371000     		dr = 164.690349999254m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24524518--0.24519724) × cos(1.00138998) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.539132156461367 × 6371000     		do = 164.664837844996m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24524518--0.24519724) × cos(1.00136413) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.539153927698765 × 6371000     		du = 164.671487341289m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00138998)-sin(1.00136413))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.539132156461367-0.539153927698765)×R²
    abs(-0.24519724--0.24524518)×2.1771237398438e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.1771237398438e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.1771237398438e-05×40589641000000     		ar = 27119.2573327565m²