Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60419 / 56329
↖ ↑ ↗
← N 24.504644°
W 14.054261°		 ← 277.92 m → N 24.504644°
W 14.051514°		 →
↑
277.90 m
↓
↑
277.90 m
↓
N 24.502145°
W 14.054261°		 ← 277.92 m →
77 234 m²		 N 24.502145°
W 14.051514°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60419 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56329 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460964202880859 y=0.429759979248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460964202880859 × 217)
    floor (0.460964202880859 × 131072)
    floor (60419.5)     		tx = 60419
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429759979248047 × 217)
    floor (0.429759979248047 × 131072)
    floor (56329.5)     		ty = 56329
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60419 / 56329 ti = "17/60419/56329"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60419/56329.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60419 ÷ 217
    60419 ÷ 131072     		x = 0.460960388183594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56329 ÷ 217
    56329 ÷ 131072     		y = 0.429756164550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460960388183594 × 2 - 1) × π
    -0.0780792236328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24529312
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.429756164550781 × 2 - 1) × π
    0.140487670898438 × 3.1415926535     		Φ = 0.441355034801857
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24529312} λ = -0.24529312}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.441355034801857))-π/2
    2×atan(1.55481261695145)-π/2
    2×0.999241524327282-π/2
    1.99848304865456-1.57079632675     		φ = 0.42768672
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24529312} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.054261°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42768672 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.504644°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60419 KachelY 56329 -0.24529312 0.42768672 -14.054261 24.504644
    Oben rechts KachelX + 1 60420 KachelY 56329 -0.24524518 0.42768672 -14.051514 24.504644
    Unten links KachelX 60419 KachelY + 1 56330 -0.24529312 0.42764310 -14.054261 24.502145
    Unten rechts KachelX + 1 60420 KachelY + 1 56330 -0.24524518 0.42764310 -14.051514 24.502145
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42768672-0.42764310) × R
    4.3620000000022e-05 × 6371000     		dl = 277.90302000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42768672-0.42764310) × R
    4.3620000000022e-05 × 6371000     		dr = 277.90302000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24529312--0.24524518) × cos(0.42768672) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.909927655647732 × 6371000     		do = 277.915327572652m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24529312--0.24524518) × cos(0.42764310) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.909945746918457 × 6371000     		du = 277.920853112401m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42768672)-sin(0.42764310))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.909927655647732-0.909945746918457)×R²
    abs(-0.24524518--0.24529312)×1.80912707252734e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.80912707252734e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.80912707252734e-05×40589641000000     		ar = 77234.2766311422m²