Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60419 / 39941
↖ ↑ ↗
← N 57.319107°
W 14.054261°		 ← 164.92 m → N 57.319107°
W 14.051514°		 →
↑
164.95 m
↓
↑
164.95 m
↓
N 57.317624°
W 14.054261°		 ← 164.92 m →
27 203 m²		 N 57.317624°
W 14.051514°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60419 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39941 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460964202880859 y=0.304729461669922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460964202880859 × 217)
    floor (0.460964202880859 × 131072)
    floor (60419.5)     		tx = 60419
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.304729461669922 × 217)
    floor (0.304729461669922 × 131072)
    floor (39941.5)     		ty = 39941
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60419 / 39941 ti = "17/60419/39941"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60419/39941.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60419 ÷ 217
    60419 ÷ 131072     		x = 0.460960388183594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39941 ÷ 217
    39941 ÷ 131072     		y = 0.304725646972656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460960388183594 × 2 - 1) × π
    -0.0780792236328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24529312
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.304725646972656 × 2 - 1) × π
    0.390548706054688 × 3.1415926535     		Φ = 1.22694494577534
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24529312} λ = -0.24529312}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22694494577534))-π/2
    2×atan(3.41079344407208)-π/2
    2×1.28560173198136-π/2
    2.57120346396273-1.57079632675     		φ = 1.00040714
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24529312} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.054261°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00040714 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.319107°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60419 KachelY 39941 -0.24529312 1.00040714 -14.054261 57.319107
    Oben rechts KachelX + 1 60420 KachelY 39941 -0.24524518 1.00040714 -14.051514 57.319107
    Unten links KachelX 60419 KachelY + 1 39942 -0.24529312 1.00038125 -14.054261 57.317624
    Unten rechts KachelX + 1 60420 KachelY + 1 39942 -0.24524518 1.00038125 -14.051514 57.317624
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00040714-1.00038125) × R
    2.58900000000839e-05 × 6371000     		dl = 164.945190000535m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00040714-1.00038125) × R
    2.58900000000839e-05 × 6371000     		dr = 164.945190000535m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24529312--0.24524518) × cos(1.00040714) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.539959664599791 × 6371000     		do = 164.91758013053m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24529312--0.24524518) × cos(1.00038125) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.539981455796062 × 6371000     		du = 164.924235722777m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00040714)-sin(1.00038125))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.539959664599791-0.539981455796062)×R²
    abs(-0.24524518--0.24529312)×2.17911962712147e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.17911962712147e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.17911962712147e-05×40589641000000     		ar = 27202.9104943809m²