Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60419 / 39938
↖ ↑ ↗
← N 57.323555°
W 14.054261°		 ← 164.90 m → N 57.323555°
W 14.051514°		 →
↑
164.88 m
↓
↑
164.88 m
↓
N 57.322073°
W 14.054261°		 ← 164.90 m →
27 189 m²		 N 57.322073°
W 14.051514°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60419 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39938 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460964202880859 y=0.304706573486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460964202880859 × 217)
    floor (0.460964202880859 × 131072)
    floor (60419.5)     		tx = 60419
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.304706573486328 × 217)
    floor (0.304706573486328 × 131072)
    floor (39938.5)     		ty = 39938
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60419 / 39938 ti = "17/60419/39938"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60419/39938.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60419 ÷ 217
    60419 ÷ 131072     		x = 0.460960388183594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39938 ÷ 217
    39938 ÷ 131072     		y = 0.304702758789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460960388183594 × 2 - 1) × π
    -0.0780792236328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24529312
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.304702758789062 × 2 - 1) × π
    0.390594482421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.2270887564742
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24529312} λ = -0.24529312}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2270887564742))-π/2
    2×atan(3.41128398793282)-π/2
    2×1.28564055562012-π/2
    2.57128111124025-1.57079632675     		φ = 1.00048478
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24529312} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.054261°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00048478 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.323555°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60419 KachelY 39938 -0.24529312 1.00048478 -14.054261 57.323555
    Oben rechts KachelX + 1 60420 KachelY 39938 -0.24524518 1.00048478 -14.051514 57.323555
    Unten links KachelX 60419 KachelY + 1 39939 -0.24529312 1.00045890 -14.054261 57.322073
    Unten rechts KachelX + 1 60420 KachelY + 1 39939 -0.24524518 1.00045890 -14.051514 57.322073
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00048478-1.00045890) × R
    2.58800000001447e-05 × 6371000     		dl = 164.881480000922m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00048478-1.00045890) × R
    2.58800000001447e-05 × 6371000     		dr = 164.881480000922m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24529312--0.24524518) × cos(1.00048478) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.539894314091436 × 6371000     		do = 164.897620403157m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24529312--0.24524518) × cos(1.00045890) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.539916097955848 × 6371000     		du = 164.904273756065m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00048478)-sin(1.00045890))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.539894314091436-0.539916097955848)×R²
    abs(-0.24524518--0.24529312)×2.17838644117618e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.17838644117618e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.17838644117618e-05×40589641000000     		ar = 27189.1122095771m²