Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60418 / 78857
↖ ↑ ↗
← S 34.327560°
W 14.057007°		 ← 252.18 m → S 34.327560°
W 14.054261°		 →
↑
252.23 m
↓
↑
252.23 m
↓
S 34.329829°
W 14.057007°		 ← 252.17 m →
63 605 m²		 S 34.329829°
W 14.054261°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60418 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78857 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460956573486328 y=0.601634979248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460956573486328 × 217)
    floor (0.460956573486328 × 131072)
    floor (60418.5)     		tx = 60418
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.601634979248047 × 217)
    floor (0.601634979248047 × 131072)
    floor (78857.5)     		ty = 78857
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60418 / 78857 ti = "17/60418/78857"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60418/78857.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60418 ÷ 217
    60418 ÷ 131072     		x = 0.460952758789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78857 ÷ 217
    78857 ÷ 131072     		y = 0.601631164550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460952758789062 × 2 - 1) × π
    -0.078094482421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24534105
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.601631164550781 × 2 - 1) × π
    -0.203262329101562 × 3.1415926535     		Φ = -0.638567439838768
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24534105} λ = -0.24534105}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.638567439838768))-π/2
    2×atan(0.528048343483813)-π/2
    2×0.48583368894649-π/2
    0.971667377892981-1.57079632675     		φ = -0.59912895
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24534105} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.057007°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59912895 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.327560°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60418 KachelY 78857 -0.24534105 -0.59912895 -14.057007 -34.327560
    Oben rechts KachelX + 1 60419 KachelY 78857 -0.24529312 -0.59912895 -14.054261 -34.327560
    Unten links KachelX 60418 KachelY + 1 78858 -0.24534105 -0.59916854 -14.057007 -34.329829
    Unten rechts KachelX + 1 60419 KachelY + 1 78858 -0.24529312 -0.59916854 -14.054261 -34.329829
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59912895--0.59916854) × R
    3.95899999999783e-05 × 6371000     		dl = 252.227889999861m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59912895--0.59916854) × R
    3.95899999999783e-05 × 6371000     		dr = 252.227889999861m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24534105--0.24529312) × cos(-0.59912895) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.825827133571292 × 6371000     		do = 252.176249936419m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24534105--0.24529312) × cos(-0.59916854) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.825804807198656 × 6371000     		du = 252.169432309949m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59912895)-sin(-0.59916854))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.825827133571292-0.825804807198656)×R²
    abs(-0.24529312--0.24534105)×2.23263726356615e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.23263726356615e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.23263726356615e-05×40589641000000     		ar = 63605.023640217m²