Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60418 / 39944
↖ ↑ ↗
← N 57.314657°
W 14.057007°		 ← 164.90 m → N 57.314657°
W 14.054261°		 →
↑
164.95 m
↓
↑
164.95 m
↓
N 57.313174°
W 14.057007°		 ← 164.91 m →
27 201 m²		 N 57.313174°
W 14.054261°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60418 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39944 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460956573486328 y=0.304752349853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460956573486328 × 217)
    floor (0.460956573486328 × 131072)
    floor (60418.5)     		tx = 60418
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.304752349853516 × 217)
    floor (0.304752349853516 × 131072)
    floor (39944.5)     		ty = 39944
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60418 / 39944 ti = "17/60418/39944"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60418/39944.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60418 ÷ 217
    60418 ÷ 131072     		x = 0.460952758789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39944 ÷ 217
    39944 ÷ 131072     		y = 0.30474853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460952758789062 × 2 - 1) × π
    -0.078094482421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24534105
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30474853515625 × 2 - 1) × π
    0.3905029296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.22680113507648
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24534105} λ = -0.24534105}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22680113507648))-π/2
    2×atan(3.41030297075172)-π/2
    2×1.28556290364295-π/2
    2.57112580728589-1.57079632675     		φ = 1.00032948
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24534105} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.057007°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00032948 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.314657°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60418 KachelY 39944 -0.24534105 1.00032948 -14.057007 57.314657
    Oben rechts KachelX + 1 60419 KachelY 39944 -0.24529312 1.00032948 -14.054261 57.314657
    Unten links KachelX 60418 KachelY + 1 39945 -0.24534105 1.00030359 -14.057007 57.313174
    Unten rechts KachelX + 1 60419 KachelY + 1 39945 -0.24529312 1.00030359 -14.054261 57.313174
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00032948-1.00030359) × R
    2.58900000000839e-05 × 6371000     		dl = 164.945190000535m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00032948-1.00030359) × R
    2.58900000000839e-05 × 6371000     		dr = 164.945190000535m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24534105--0.24529312) × cos(1.00032948) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.540025028686264 × 6371000     		do = 164.903139010451m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24534105--0.24529312) × cos(1.00030359) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.540046818796795 × 6371000     		du = 164.909792882837m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00032948)-sin(1.00030359))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.540025028686264-0.540046818796795)×R²
    abs(-0.24529312--0.24534105)×2.17901105312723e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.17901105312723e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.17901105312723e-05×40589641000000     		ar = 27200.5283593906m²