Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60418 / 39940
↖ ↑ ↗
← N 57.320590°
W 14.057007°		 ← 164.88 m → N 57.320590°
W 14.054261°		 →
↑
164.88 m
↓
↑
164.88 m
↓
N 57.319107°
W 14.057007°		 ← 164.88 m →
27 186 m²		 N 57.319107°
W 14.054261°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60418 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39940 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460956573486328 y=0.304721832275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460956573486328 × 217)
    floor (0.460956573486328 × 131072)
    floor (60418.5)     		tx = 60418
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.304721832275391 × 217)
    floor (0.304721832275391 × 131072)
    floor (39940.5)     		ty = 39940
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60418 / 39940 ti = "17/60418/39940"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60418/39940.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60418 ÷ 217
    60418 ÷ 131072     		x = 0.460952758789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39940 ÷ 217
    39940 ÷ 131072     		y = 0.304718017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460952758789062 × 2 - 1) × π
    -0.078094482421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24534105
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.304718017578125 × 2 - 1) × π
    0.39056396484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.22699288267496
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24534105} λ = -0.24534105}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22699288267496))-π/2
    2×atan(3.410956950854)-π/2
    2×1.28561467371645-π/2
    2.5712293474329-1.57079632675     		φ = 1.00043302
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24534105} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.057007°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00043302 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.320590°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60418 KachelY 39940 -0.24534105 1.00043302 -14.057007 57.320590
    Oben rechts KachelX + 1 60419 KachelY 39940 -0.24529312 1.00043302 -14.054261 57.320590
    Unten links KachelX 60418 KachelY + 1 39941 -0.24534105 1.00040714 -14.057007 57.319107
    Unten rechts KachelX + 1 60419 KachelY + 1 39941 -0.24529312 1.00040714 -14.054261 57.319107
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00043302-1.00040714) × R
    2.58799999999226e-05 × 6371000     		dl = 164.881479999507m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00043302-1.00040714) × R
    2.58799999999226e-05 × 6371000     		dr = 164.881479999507m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24534105--0.24529312) × cos(1.00043302) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.539937881458637 × 6371000     		do = 164.876527556114m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24534105--0.24529312) × cos(1.00040714) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.539959664599791 × 6371000     		du = 164.883179300317m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00043302)-sin(1.00040714))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.539937881458637-0.539959664599791)×R²
    abs(-0.24529312--0.24534105)×2.17831411530867e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.17831411530867e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.17831411530867e-05×40589641000000     		ar = 27185.6342568571m²