Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60417 / 56335
↖ ↑ ↗
← N 24.489648°
W 14.059753°		 ← 277.95 m → N 24.489648°
W 14.057007°		 →
↑
277.90 m
↓
↑
277.90 m
↓
N 24.487149°
W 14.059753°		 ← 277.95 m →
77 243 m²		 N 24.487149°
W 14.057007°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60417 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56335 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460948944091797 y=0.429805755615234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460948944091797 × 217)
    floor (0.460948944091797 × 131072)
    floor (60417.5)     		tx = 60417
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429805755615234 × 217)
    floor (0.429805755615234 × 131072)
    floor (56335.5)     		ty = 56335
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60417 / 56335 ti = "17/60417/56335"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60417/56335.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60417 ÷ 217
    60417 ÷ 131072     		x = 0.460945129394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56335 ÷ 217
    56335 ÷ 131072     		y = 0.429801940917969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460945129394531 × 2 - 1) × π
    -0.0781097412109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24538899
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.429801940917969 × 2 - 1) × π
    0.140396118164062 × 3.1415926535     		Φ = 0.441067413404137
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24538899} λ = -0.24538899}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.441067413404137))-π/2
    2×atan(1.55436548387897)-π/2
    2×0.999110659191136-π/2
    1.99822131838227-1.57079632675     		φ = 0.42742499
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24538899} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.059753°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42742499 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.489648°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60417 KachelY 56335 -0.24538899 0.42742499 -14.059753 24.489648
    Oben rechts KachelX + 1 60418 KachelY 56335 -0.24534105 0.42742499 -14.057007 24.489648
    Unten links KachelX 60417 KachelY + 1 56336 -0.24538899 0.42738137 -14.059753 24.487149
    Unten rechts KachelX + 1 60418 KachelY + 1 56336 -0.24534105 0.42738137 -14.057007 24.487149
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42742499-0.42738137) × R
    4.3620000000022e-05 × 6371000     		dl = 277.90302000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42742499-0.42738137) × R
    4.3620000000022e-05 × 6371000     		dr = 277.90302000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24538899--0.24534105) × cos(0.42742499) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.910036181446317 × 6371000     		do = 277.948474144994m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24538899--0.24534105) × cos(0.42738137) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.910054262327982 × 6371000     		du = 277.953996511657m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42742499)-sin(0.42738137))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.910036181446317-0.910054262327982)×R²
    abs(-0.24534105--0.24538899)×1.80808816654388e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.80808816654388e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.80808816654388e-05×40589641000000     		ar = 77243.4877227661m²