Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60417 / 39943
↖ ↑ ↗
← N 57.316141°
W 14.059753°		 ← 164.93 m → N 57.316141°
W 14.057007°		 →
↑
164.95 m
↓
↑
164.95 m
↓
N 57.314657°
W 14.059753°		 ← 164.94 m →
27 205 m²		 N 57.314657°
W 14.057007°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60417 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39943 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460948944091797 y=0.304744720458984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460948944091797 × 217)
    floor (0.460948944091797 × 131072)
    floor (60417.5)     		tx = 60417
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.304744720458984 × 217)
    floor (0.304744720458984 × 131072)
    floor (39943.5)     		ty = 39943
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60417 / 39943 ti = "17/60417/39943"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60417/39943.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60417 ÷ 217
    60417 ÷ 131072     		x = 0.460945129394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39943 ÷ 217
    39943 ÷ 131072     		y = 0.304740905761719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460945129394531 × 2 - 1) × π
    -0.0781097412109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24538899
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.304740905761719 × 2 - 1) × π
    0.390518188476562 × 3.1415926535     		Φ = 1.2268490719761
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24538899} λ = -0.24538899}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2268490719761))-π/2
    2×atan(3.41046645402131)-π/2
    2×1.28557584694462-π/2
    2.57115169388925-1.57079632675     		φ = 1.00035537
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24538899} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.059753°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00035537 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.316141°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60417 KachelY 39943 -0.24538899 1.00035537 -14.059753 57.316141
    Oben rechts KachelX + 1 60418 KachelY 39943 -0.24534105 1.00035537 -14.057007 57.316141
    Unten links KachelX 60417 KachelY + 1 39944 -0.24538899 1.00032948 -14.059753 57.314657
    Unten rechts KachelX + 1 60418 KachelY + 1 39944 -0.24534105 1.00032948 -14.057007 57.314657
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00035537-1.00032948) × R
    2.58900000000839e-05 × 6371000     		dl = 164.945190000535m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00035537-1.00032948) × R
    2.58900000000839e-05 × 6371000     		dr = 164.945190000535m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24538899--0.24534105) × cos(1.00035537) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.540003238213758 × 6371000     		do = 164.930888633821m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24538899--0.24534105) × cos(1.00032948) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.540025028686264 × 6371000     		du = 164.937544005011m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00035537)-sin(1.00032948))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.540003238213758-0.540025028686264)×R²
    abs(-0.24534105--0.24538899)×2.17904725058338e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.17904725058338e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.17904725058338e-05×40589641000000     		ar = 27205.1056499632m²