Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60415 / 39943
↖ ↑ ↗
← N 57.316141°
W 14.065246°		 ← 164.90 m → N 57.316141°
W 14.062500°		 →
↑
164.95 m
↓
↑
164.95 m
↓
N 57.314657°
W 14.065246°		 ← 164.90 m →
27 199 m²		 N 57.314657°
W 14.062500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60415 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39943 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460933685302734 y=0.304744720458984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460933685302734 × 217)
    floor (0.460933685302734 × 131072)
    floor (60415.5)     		tx = 60415
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.304744720458984 × 217)
    floor (0.304744720458984 × 131072)
    floor (39943.5)     		ty = 39943
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60415 / 39943 ti = "17/60415/39943"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60415/39943.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60415 ÷ 217
    60415 ÷ 131072     		x = 0.460929870605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39943 ÷ 217
    39943 ÷ 131072     		y = 0.304740905761719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460929870605469 × 2 - 1) × π
    -0.0781402587890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24548486
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.304740905761719 × 2 - 1) × π
    0.390518188476562 × 3.1415926535     		Φ = 1.2268490719761
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24548486} λ = -0.24548486}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2268490719761))-π/2
    2×atan(3.41046645402131)-π/2
    2×1.28557584694462-π/2
    2.57115169388925-1.57079632675     		φ = 1.00035537
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24548486} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.065246°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00035537 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.316141°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60415 KachelY 39943 -0.24548486 1.00035537 -14.065246 57.316141
    Oben rechts KachelX + 1 60416 KachelY 39943 -0.24543693 1.00035537 -14.062500 57.316141
    Unten links KachelX 60415 KachelY + 1 39944 -0.24548486 1.00032948 -14.065246 57.314657
    Unten rechts KachelX + 1 60416 KachelY + 1 39944 -0.24543693 1.00032948 -14.062500 57.314657
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00035537-1.00032948) × R
    2.58900000000839e-05 × 6371000     		dl = 164.945190000535m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00035537-1.00032948) × R
    2.58900000000839e-05 × 6371000     		dr = 164.945190000535m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24548486--0.24543693) × cos(1.00035537) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.540003238213758 × 6371000     		do = 164.896485027532m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24548486--0.24543693) × cos(1.00032948) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.540025028686264 × 6371000     		du = 164.903139010451m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00035537)-sin(1.00032948))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.540003238213758-0.540025028686264)×R²
    abs(-0.24543693--0.24548486)×2.17904725058338e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.17904725058338e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.17904725058338e-05×40589641000000     		ar = 27199.4308260926m²