Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60415 / 39933
↖ ↑ ↗
← N 57.330969°
W 14.065246°		 ← 164.83 m → N 57.330969°
W 14.062500°		 →
↑
164.88 m
↓
↑
164.88 m
↓
N 57.329487°
W 14.065246°		 ← 164.84 m →
27 178 m²		 N 57.329487°
W 14.062500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60415 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39933 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460933685302734 y=0.304668426513672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460933685302734 × 217)
    floor (0.460933685302734 × 131072)
    floor (60415.5)     		tx = 60415
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.304668426513672 × 217)
    floor (0.304668426513672 × 131072)
    floor (39933.5)     		ty = 39933
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60415 / 39933 ti = "17/60415/39933"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60415/39933.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60415 ÷ 217
    60415 ÷ 131072     		x = 0.460929870605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39933 ÷ 217
    39933 ÷ 131072     		y = 0.304664611816406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460929870605469 × 2 - 1) × π
    -0.0781402587890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24548486
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.304664611816406 × 2 - 1) × π
    0.390670776367188 × 3.1415926535     		Φ = 1.2273284409723
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24548486} λ = -0.24548486}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2273284409723))-π/2
    2×atan(3.41210171781802)-π/2
    2×1.28570525124194-π/2
    2.57141050248389-1.57079632675     		φ = 1.00061418
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24548486} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.065246°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00061418 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.330969°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60415 KachelY 39933 -0.24548486 1.00061418 -14.065246 57.330969
    Oben rechts KachelX + 1 60416 KachelY 39933 -0.24543693 1.00061418 -14.062500 57.330969
    Unten links KachelX 60415 KachelY + 1 39934 -0.24548486 1.00058830 -14.065246 57.329487
    Unten rechts KachelX + 1 60416 KachelY + 1 39934 -0.24543693 1.00058830 -14.062500 57.329487
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00061418-1.00058830) × R
    2.58799999999226e-05 × 6371000     		dl = 164.881479999507m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00061418-1.00058830) × R
    2.58799999999226e-05 × 6371000     		dr = 164.881479999507m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24548486--0.24543693) × cos(1.00061418) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.539785389345559 × 6371000     		do = 164.829962254906m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24548486--0.24543693) × cos(1.00058830) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.539807175017861 × 6371000     		du = 164.836614772025m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00061418)-sin(1.00058830))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.539785389345559-0.539807175017861)×R²
    abs(-0.24543693--0.24548486)×2.17856723027099e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.17856723027099e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.17856723027099e-05×40589641000000     		ar = 27177.9565649685m²