Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60414 / 40173
↖ ↑ ↗
← N 56.973427°
W 14.067993°		 ← 166.47 m → N 56.973427°
W 14.065246°		 →
↑
166.41 m
↓
↑
166.41 m
↓
N 56.971931°
W 14.067993°		 ← 166.47 m →
27 702 m²		 N 56.971931°
W 14.065246°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60414 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40173 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460926055908203 y=0.306499481201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460926055908203 × 217)
    floor (0.460926055908203 × 131072)
    floor (60414.5)     		tx = 60414
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306499481201172 × 217)
    floor (0.306499481201172 × 131072)
    floor (40173.5)     		ty = 40173
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60414 / 40173 ti = "17/60414/40173"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60414/40173.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60414 ÷ 217
    60414 ÷ 131072     		x = 0.460922241210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40173 ÷ 217
    40173 ÷ 131072     		y = 0.306495666503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460922241210938 × 2 - 1) × π
    -0.078155517578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24553280
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.306495666503906 × 2 - 1) × π
    0.387008666992188 × 3.1415926535     		Φ = 1.21582358506348
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24553280} λ = -0.24553280}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21582358506348))-π/2
    2×atan(3.37307093150874)-π/2
    2×1.28258511014991-π/2
    2.56517022029982-1.57079632675     		φ = 0.99437389
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24553280} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.067993°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99437389 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.973427°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60414 KachelY 40173 -0.24553280 0.99437389 -14.067993 56.973427
    Oben rechts KachelX + 1 60415 KachelY 40173 -0.24548486 0.99437389 -14.065246 56.973427
    Unten links KachelX 60414 KachelY + 1 40174 -0.24553280 0.99434777 -14.067993 56.971931
    Unten rechts KachelX + 1 60415 KachelY + 1 40174 -0.24548486 0.99434777 -14.065246 56.971931
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99437389-0.99434777) × R
    2.61200000000184e-05 × 6371000     		dl = 166.410520000117m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99437389-0.99434777) × R
    2.61200000000184e-05 × 6371000     		dr = 166.410520000117m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24553280--0.24548486) × cos(0.99437389) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.545027938112498 × 6371000     		do = 166.465561318671m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24553280--0.24548486) × cos(0.99434777) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.545049837401678 × 6371000     		du = 166.472249925274m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99437389)-sin(0.99434777))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.545027938112498-0.545049837401678)×R²
    abs(-0.24548486--0.24553280)×2.18992891798386e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.18992891798386e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.18992891798386e-05×40589641000000     		ar = 27702.1771500023m²