Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60414 / 39930
↖ ↑ ↗
← N 57.335417°
W 14.067993°		 ← 164.84 m → N 57.335417°
W 14.065246°		 →
↑
164.88 m
↓
↑
164.88 m
↓
N 57.333934°
W 14.067993°		 ← 164.85 m →
27 180 m²		 N 57.333934°
W 14.065246°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60414 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39930 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460926055908203 y=0.304645538330078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460926055908203 × 217)
    floor (0.460926055908203 × 131072)
    floor (60414.5)     		tx = 60414
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.304645538330078 × 217)
    floor (0.304645538330078 × 131072)
    floor (39930.5)     		ty = 39930
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60414 / 39930 ti = "17/60414/39930"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60414/39930.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60414 ÷ 217
    60414 ÷ 131072     		x = 0.460922241210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39930 ÷ 217
    39930 ÷ 131072     		y = 0.304641723632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460922241210938 × 2 - 1) × π
    -0.078155517578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24553280
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.304641723632812 × 2 - 1) × π
    0.390716552734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.22747225167116
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24553280} λ = -0.24553280}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22747225167116))-π/2
    2×atan(3.41259244983605)-π/2
    2×1.28574406234992-π/2
    2.57148812469983-1.57079632675     		φ = 1.00069180
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24553280} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.067993°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00069180 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.335417°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60414 KachelY 39930 -0.24553280 1.00069180 -14.067993 57.335417
    Oben rechts KachelX + 1 60415 KachelY 39930 -0.24548486 1.00069180 -14.065246 57.335417
    Unten links KachelX 60414 KachelY + 1 39931 -0.24553280 1.00066592 -14.067993 57.333934
    Unten rechts KachelX + 1 60415 KachelY + 1 39931 -0.24548486 1.00066592 -14.065246 57.333934
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00069180-1.00066592) × R
    2.58799999999226e-05 × 6371000     		dl = 164.881479999507m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00069180-1.00066592) × R
    2.58799999999226e-05 × 6371000     		dr = 164.881479999507m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24553280--0.24548486) × cos(1.00069180) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.539720046996393 × 6371000     		do = 164.844394746696m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24553280--0.24548486) × cos(1.00066592) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.539741833752976 × 6371000     		du = 164.851048982947m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00069180)-sin(1.00066592))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.539720046996393-0.539741833752976)×R²
    abs(-0.24548486--0.24553280)×2.178675658282e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.178675658282e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.178675658282e-05×40589641000000     		ar = 27180.3363572938m²