Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60413 / 41923
↖ ↑ ↗
← N 54.260411°
W 14.070740°		 ← 178.40 m → N 54.260411°
W 14.067993°		 →
↑
178.39 m
↓
↑
178.39 m
↓
N 54.258807°
W 14.070740°		 ← 178.41 m →
31 825 m²		 N 54.258807°
W 14.067993°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60413 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41923 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460918426513672 y=0.319850921630859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460918426513672 × 217)
    floor (0.460918426513672 × 131072)
    floor (60413.5)     		tx = 60413
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319850921630859 × 217)
    floor (0.319850921630859 × 131072)
    floor (41923.5)     		ty = 41923
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60413 / 41923 ti = "17/60413/41923"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60413/41923.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60413 ÷ 217
    60413 ÷ 131072     		x = 0.460914611816406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41923 ÷ 217
    41923 ÷ 131072     		y = 0.319847106933594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460914611816406 × 2 - 1) × π
    -0.0781707763671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24558074
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.319847106933594 × 2 - 1) × π
    0.360305786132812 × 3.1415926535     		Φ = 1.13193401072839
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24558074} λ = -0.24558074}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13193401072839))-π/2
    2×atan(3.10164932623438)-π/2
    2×1.25890958051993-π/2
    2.51781916103985-1.57079632675     		φ = 0.94702283
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24558074} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.070740°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94702283 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.260411°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60413 KachelY 41923 -0.24558074 0.94702283 -14.070740 54.260411
    Oben rechts KachelX + 1 60414 KachelY 41923 -0.24553280 0.94702283 -14.067993 54.260411
    Unten links KachelX 60413 KachelY + 1 41924 -0.24558074 0.94699483 -14.070740 54.258807
    Unten rechts KachelX + 1 60414 KachelY + 1 41924 -0.24553280 0.94699483 -14.067993 54.258807
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94702283-0.94699483) × R
    2.8000000000028e-05 × 6371000     		dl = 178.388000000178m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94702283-0.94699483) × R
    2.8000000000028e-05 × 6371000     		dr = 178.388000000178m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24558074--0.24553280) × cos(0.94702283) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.584102184240728 × 6371000     		do = 178.399841857327m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24558074--0.24553280) × cos(0.94699483) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.584124911055482 × 6371000     		du = 178.406783211541m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94702283)-sin(0.94699483))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.584102184240728-0.584124911055482)×R²
    abs(-0.24553280--0.24558074)×2.27268147540149e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.27268147540149e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.27268147540149e-05×40589641000000     		ar = 31825.0101184053m²