Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60413 / 39931
↖ ↑ ↗
← N 57.333934°
W 14.070740°		 ← 164.85 m → N 57.333934°
W 14.067993°		 →
↑
164.82 m
↓
↑
164.82 m
↓
N 57.332452°
W 14.070740°		 ← 164.86 m →
27 171 m²		 N 57.332452°
W 14.067993°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60413 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39931 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460918426513672 y=0.304653167724609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460918426513672 × 217)
    floor (0.460918426513672 × 131072)
    floor (60413.5)     		tx = 60413
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.304653167724609 × 217)
    floor (0.304653167724609 × 131072)
    floor (39931.5)     		ty = 39931
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60413 / 39931 ti = "17/60413/39931"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60413/39931.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60413 ÷ 217
    60413 ÷ 131072     		x = 0.460914611816406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39931 ÷ 217
    39931 ÷ 131072     		y = 0.304649353027344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460914611816406 × 2 - 1) × π
    -0.0781707763671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24558074
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.304649353027344 × 2 - 1) × π
    0.390701293945312 × 3.1415926535     		Φ = 1.22742431477154
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24558074} λ = -0.24558074}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22742431477154))-π/2
    2×atan(3.41242886465526)-π/2
    2×1.28573112583599-π/2
    2.57146225167198-1.57079632675     		φ = 1.00066592
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24558074} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.070740°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00066592 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.333934°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60413 KachelY 39931 -0.24558074 1.00066592 -14.070740 57.333934
    Oben rechts KachelX + 1 60414 KachelY 39931 -0.24553280 1.00066592 -14.067993 57.333934
    Unten links KachelX 60413 KachelY + 1 39932 -0.24558074 1.00064005 -14.070740 57.332452
    Unten rechts KachelX + 1 60414 KachelY + 1 39932 -0.24553280 1.00064005 -14.067993 57.332452
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00066592-1.00064005) × R
    2.58700000002055e-05 × 6371000     		dl = 164.817770001309m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00066592-1.00064005) × R
    2.58700000002055e-05 × 6371000     		dr = 164.817770001309m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24558074--0.24553280) × cos(1.00066592) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.539741833752976 × 6371000     		do = 164.851048982947m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24558074--0.24553280) × cos(1.00064005) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.539763611729888 × 6371000     		du = 164.857700537661m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00066592)-sin(1.00064005))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.539741833752976-0.539763611729888)×R²
    abs(-0.24553280--0.24558074)×2.17779769114967e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.17779769114967e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.17779769114967e-05×40589641000000     		ar = 27170.930424318m²