Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60412 / 39924
↖ ↑ ↗
← N 57.344310°
W 14.073486°		 ← 164.77 m → N 57.344310°
W 14.070740°		 →
↑
164.75 m
↓
↑
164.75 m
↓
N 57.342828°
W 14.073486°		 ← 164.78 m →
27 147 m²		 N 57.342828°
W 14.070740°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60412 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39924 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460910797119141 y=0.304599761962891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460910797119141 × 217)
    floor (0.460910797119141 × 131072)
    floor (60412.5)     		tx = 60412
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.304599761962891 × 217)
    floor (0.304599761962891 × 131072)
    floor (39924.5)     		ty = 39924
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60412 / 39924 ti = "17/60412/39924"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60412/39924.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60412 ÷ 217
    60412 ÷ 131072     		x = 0.460906982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39924 ÷ 217
    39924 ÷ 131072     		y = 0.304595947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460906982421875 × 2 - 1) × π
    -0.07818603515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24562867
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.304595947265625 × 2 - 1) × π
    0.39080810546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.22775987306888
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24562867} λ = -0.24562867}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22775987306888))-π/2
    2×atan(3.41357412561504)-π/2
    2×1.2858216704709-π/2
    2.5716433409418-1.57079632675     		φ = 1.00084701
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24562867} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.073486°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00084701 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.344310°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60412 KachelY 39924 -0.24562867 1.00084701 -14.073486 57.344310
    Oben rechts KachelX + 1 60413 KachelY 39924 -0.24558074 1.00084701 -14.070740 57.344310
    Unten links KachelX 60412 KachelY + 1 39925 -0.24562867 1.00082115 -14.073486 57.342828
    Unten rechts KachelX + 1 60413 KachelY + 1 39925 -0.24558074 1.00082115 -14.070740 57.342828
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00084701-1.00082115) × R
    2.58600000000442e-05 × 6371000     		dl = 164.754060000281m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00084701-1.00082115) × R
    2.58600000000442e-05 × 6371000     		dr = 164.754060000281m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24562867--0.24558074) × cos(1.00084701) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.539589377801087 × 6371000     		do = 164.770107771782m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24562867--0.24558074) × cos(1.00082115) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.53961114988713 × 6371000     		du = 164.776756140174m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00084701)-sin(1.00082115))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.539589377801087-0.53961114988713)×R²
    abs(-0.24558074--0.24562867)×2.17720860432591e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.17720860432591e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.17720860432591e-05×40589641000000     		ar = 27147.0918963904m²