Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60412 / 39874
↖ ↑ ↗
← N 57.418336°
W 14.073486°		 ← 164.44 m → N 57.418336°
W 14.070740°		 →
↑
164.44 m
↓
↑
164.44 m
↓
N 57.416858°
W 14.073486°		 ← 164.44 m →
27 040 m²		 N 57.416858°
W 14.070740°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60412 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39874 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460910797119141 y=0.304218292236328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460910797119141 × 217)
    floor (0.460910797119141 × 131072)
    floor (60412.5)     		tx = 60412
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.304218292236328 × 217)
    floor (0.304218292236328 × 131072)
    floor (39874.5)     		ty = 39874
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60412 / 39874 ti = "17/60412/39874"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60412/39874.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60412 ÷ 217
    60412 ÷ 131072     		x = 0.460906982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39874 ÷ 217
    39874 ÷ 131072     		y = 0.304214477539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460906982421875 × 2 - 1) × π
    -0.07818603515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24562867
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.304214477539062 × 2 - 1) × π
    0.391571044921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.23015671804988
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24562867} λ = -0.24562867}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23015671804988))-π/2
    2×atan(3.42176574672663)-π/2
    2×1.28646767430477-π/2
    2.57293534860953-1.57079632675     		φ = 1.00213902
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24562867} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.073486°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00213902 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.418336°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60412 KachelY 39874 -0.24562867 1.00213902 -14.073486 57.418336
    Oben rechts KachelX + 1 60413 KachelY 39874 -0.24558074 1.00213902 -14.070740 57.418336
    Unten links KachelX 60412 KachelY + 1 39875 -0.24562867 1.00211321 -14.073486 57.416858
    Unten rechts KachelX + 1 60413 KachelY + 1 39875 -0.24558074 1.00211321 -14.070740 57.416858
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00213902-1.00211321) × R
    2.5809999999904e-05 × 6371000     		dl = 164.435509999388m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00213902-1.00211321) × R
    2.5809999999904e-05 × 6371000     		dr = 164.435509999388m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24562867--0.24558074) × cos(1.00213902) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.538501147923893 × 6371000     		do = 164.437803687376m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24562867--0.24558074) × cos(1.00211321) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.538522895890005 × 6371000     		du = 164.444444690456m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00213902)-sin(1.00211321))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.538501147923893-0.538522895890005)×R²
    abs(-0.24558074--0.24562867)×2.17479661116515e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.17479661116515e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.17479661116515e-05×40589641000000     		ar = 27039.9601223884m²