Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60411 / 40822
↖ ↑ ↗
← N 55.989164°
W 14.076233°		 ← 170.84 m → N 55.989164°
W 14.073486°		 →
↑
170.81 m
↓
↑
170.81 m
↓
N 55.987628°
W 14.076233°		 ← 170.85 m →
29 181 m²		 N 55.987628°
W 14.073486°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60411 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40822 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460903167724609 y=0.311450958251953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460903167724609 × 217)
    floor (0.460903167724609 × 131072)
    floor (60411.5)     		tx = 60411
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.311450958251953 × 217)
    floor (0.311450958251953 × 131072)
    floor (40822.5)     		ty = 40822
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60411 / 40822 ti = "17/60411/40822"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60411/40822.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60411 ÷ 217
    60411 ÷ 131072     		x = 0.460899353027344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40822 ÷ 217
    40822 ÷ 131072     		y = 0.311447143554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460899353027344 × 2 - 1) × π
    -0.0782012939453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24567661
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.311447143554688 × 2 - 1) × π
    0.377105712890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.18471253721007
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24567661} λ = -0.24567661}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18471253721007))-π/2
    2×atan(3.26974675583068)-π/2
    2×1.2739957942369-π/2
    2.54799158847379-1.57079632675     		φ = 0.97719526
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24567661} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.076233°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97719526 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.989164°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60411 KachelY 40822 -0.24567661 0.97719526 -14.076233 55.989164
    Oben rechts KachelX + 1 60412 KachelY 40822 -0.24562867 0.97719526 -14.073486 55.989164
    Unten links KachelX 60411 KachelY + 1 40823 -0.24567661 0.97716845 -14.076233 55.987628
    Unten rechts KachelX + 1 60412 KachelY + 1 40823 -0.24562867 0.97716845 -14.073486 55.987628
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97719526-0.97716845) × R
    2.68100000000437e-05 × 6371000     		dl = 170.806510000279m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97719526-0.97716845) × R
    2.68100000000437e-05 × 6371000     		dr = 170.806510000279m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24567661--0.24562867) × cos(0.97719526) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.559349681981154 × 6371000     		do = 170.839790537845m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24567661--0.24562867) × cos(0.97716845) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.559371905441754 × 6371000     		du = 170.846578154745m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97719526)-sin(0.97716845))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.559349681981154-0.559371905441754)×R²
    abs(-0.24562867--0.24567661)×2.22234605999905e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.22234605999905e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.22234605999905e-05×40589641000000     		ar = 29181.1280771798m²