Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60411 / 39927
↖ ↑ ↗
← N 57.339863°
W 14.076233°		 ← 164.82 m → N 57.339863°
W 14.073486°		 →
↑
164.82 m
↓
↑
164.82 m
↓
N 57.338381°
W 14.076233°		 ← 164.83 m →
27 167 m²		 N 57.338381°
W 14.073486°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60411 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39927 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460903167724609 y=0.304622650146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460903167724609 × 217)
    floor (0.460903167724609 × 131072)
    floor (60411.5)     		tx = 60411
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.304622650146484 × 217)
    floor (0.304622650146484 × 131072)
    floor (39927.5)     		ty = 39927
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60411 / 39927 ti = "17/60411/39927"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60411/39927.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60411 ÷ 217
    60411 ÷ 131072     		x = 0.460899353027344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39927 ÷ 217
    39927 ÷ 131072     		y = 0.304618835449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460899353027344 × 2 - 1) × π
    -0.0782012939453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24567661
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.304618835449219 × 2 - 1) × π
    0.390762329101562 × 3.1415926535     		Φ = 1.22761606237002
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24567661} λ = -0.24567661}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22761606237002))-π/2
    2×atan(3.41308325243168)-π/2
    2×1.28578286875946-π/2
    2.57156573751891-1.57079632675     		φ = 1.00076941
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24567661} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.076233°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00076941 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.339863°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60411 KachelY 39927 -0.24567661 1.00076941 -14.076233 57.339863
    Oben rechts KachelX + 1 60412 KachelY 39927 -0.24562867 1.00076941 -14.073486 57.339863
    Unten links KachelX 60411 KachelY + 1 39928 -0.24567661 1.00074354 -14.076233 57.338381
    Unten rechts KachelX + 1 60412 KachelY + 1 39928 -0.24562867 1.00074354 -14.073486 57.338381
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00076941-1.00074354) × R
    2.58699999999834e-05 × 6371000     		dl = 164.817769999894m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00076941-1.00074354) × R
    2.58699999999834e-05 × 6371000     		dr = 164.817769999894m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24567661--0.24562867) × cos(1.00076941) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.539654709814353 × 6371000     		do = 164.824439089521m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24567661--0.24562867) × cos(1.00074354) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.53967648923622 × 6371000     		du = 164.831091085562m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00076941)-sin(1.00074354))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.539654709814353-0.53967648923622)×R²
    abs(-0.24562867--0.24567661)×2.17794218672074e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.17794218672074e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.17794218672074e-05×40589641000000     		ar = 27166.5446773182m²