Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60410 / 40153
↖ ↑ ↗
← N 57.003354°
W 14.078980°		 ← 166.33 m → N 57.003354°
W 14.076233°		 →
↑
166.28 m
↓
↑
166.28 m
↓
N 57.001859°
W 14.078980°		 ← 166.34 m →
27 659 m²		 N 57.001859°
W 14.076233°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60410 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40153 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460895538330078 y=0.306346893310547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460895538330078 × 217)
    floor (0.460895538330078 × 131072)
    floor (60410.5)     		tx = 60410
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306346893310547 × 217)
    floor (0.306346893310547 × 131072)
    floor (40153.5)     		ty = 40153
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60410 / 40153 ti = "17/60410/40153"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60410/40153.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60410 ÷ 217
    60410 ÷ 131072     		x = 0.460891723632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40153 ÷ 217
    40153 ÷ 131072     		y = 0.306343078613281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460891723632812 × 2 - 1) × π
    -0.078216552734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24572455
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.306343078613281 × 2 - 1) × π
    0.387313842773438 × 3.1415926535     		Φ = 1.21678232305589
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24572455} λ = -0.24572455}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21678232305589))-π/2
    2×atan(3.37630637348459)-π/2
    2×1.28284627465312-π/2
    2.56569254930624-1.57079632675     		φ = 0.99489622
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24572455} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.078980°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99489622 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.003354°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60410 KachelY 40153 -0.24572455 0.99489622 -14.078980 57.003354
    Oben rechts KachelX + 1 60411 KachelY 40153 -0.24567661 0.99489622 -14.076233 57.003354
    Unten links KachelX 60410 KachelY + 1 40154 -0.24572455 0.99487012 -14.078980 57.001859
    Unten rechts KachelX + 1 60411 KachelY + 1 40154 -0.24567661 0.99487012 -14.076233 57.001859
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99489622-0.99487012) × R
    2.61000000000289e-05 × 6371000     		dl = 166.283100000184m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99489622-0.99487012) × R
    2.61000000000289e-05 × 6371000     		dr = 166.283100000184m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24572455--0.24567661) × cos(0.99489622) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.544589932969929 × 6371000     		do = 166.331783273974m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24572455--0.24567661) × cos(0.99487012) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.544611822918463 × 6371000     		du = 166.338469027704m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99489622)-sin(0.99487012))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.544589932969929-0.544611822918463)×R²
    abs(-0.24567661--0.24572455)×2.18899485344703e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.18899485344703e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.18899485344703e-05×40589641000000     		ar = 27658.7204167861m²