Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60410 / 39942
↖ ↑ ↗
← N 57.317624°
W 14.078980°		 ← 164.92 m → N 57.317624°
W 14.076233°		 →
↑
164.88 m
↓
↑
164.88 m
↓
N 57.316141°
W 14.078980°		 ← 164.93 m →
27 194 m²		 N 57.316141°
W 14.076233°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60410 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39942 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460895538330078 y=0.304737091064453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460895538330078 × 217)
    floor (0.460895538330078 × 131072)
    floor (60410.5)     		tx = 60410
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.304737091064453 × 217)
    floor (0.304737091064453 × 131072)
    floor (39942.5)     		ty = 39942
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60410 / 39942 ti = "17/60410/39942"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60410/39942.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60410 ÷ 217
    60410 ÷ 131072     		x = 0.460891723632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39942 ÷ 217
    39942 ÷ 131072     		y = 0.304733276367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460891723632812 × 2 - 1) × π
    -0.078216552734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24572455
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.304733276367188 × 2 - 1) × π
    0.390533447265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.22689700887572
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24572455} λ = -0.24572455}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22689700887572))-π/2
    2×atan(3.41062994512797)-π/2
    2×1.28558878972409-π/2
    2.57117757944819-1.57079632675     		φ = 1.00038125
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24572455} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.078980°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00038125 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.317624°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60410 KachelY 39942 -0.24572455 1.00038125 -14.078980 57.317624
    Oben rechts KachelX + 1 60411 KachelY 39942 -0.24567661 1.00038125 -14.076233 57.317624
    Unten links KachelX 60410 KachelY + 1 39943 -0.24572455 1.00035537 -14.078980 57.316141
    Unten rechts KachelX + 1 60411 KachelY + 1 39943 -0.24567661 1.00035537 -14.076233 57.316141
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00038125-1.00035537) × R
    2.58799999999226e-05 × 6371000     		dl = 164.881479999507m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00038125-1.00035537) × R
    2.58799999999226e-05 × 6371000     		dr = 164.881479999507m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24572455--0.24567661) × cos(1.00038125) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.539981455796062 × 6371000     		do = 164.924235722872m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24572455--0.24567661) × cos(1.00035537) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.540003238213758 × 6371000     		du = 164.930888633916m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00038125)-sin(1.00035537))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.539981455796062-0.540003238213758)×R²
    abs(-0.24567661--0.24572455)×2.17824176964587e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.17824176964587e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.17824176964587e-05×40589641000000     		ar = 27193.5005462003m²