Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 60408 / 60055
↖ ↑ ↗
← S 81.639742°
E151.831055°		 ← 88.81 m → S 81.639742°
E151.836548°		 →
↑
88.81 m
↓
↑
88.81 m
↓
S 81.640540°
E151.831055°		 ← 88.80 m →
7 887 m²		 S 81.640540°
E151.836548°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60408 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60055 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.921760559082031 y=0.916374206542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.921760559082031 × 216)
    floor (0.921760559082031 × 65536)
    floor (60408.5)     		tx = 60408
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.916374206542969 × 216)
    floor (0.916374206542969 × 65536)
    floor (60055.5)     		ty = 60055
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 60408 / 60055 ti = "16/60408/60055"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/60408/60055.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60408 ÷ 216
    60408 ÷ 65536     		x = 0.9217529296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60055 ÷ 216
    60055 ÷ 65536     		y = 0.916366577148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9217529296875 × 2 - 1) × π
    0.843505859375 × 3.1415926535     		Λ = 2.64995181
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.916366577148438 × 2 - 1) × π
    -0.832733154296875 × 3.1415926535     		Φ = -2.61610835986494
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.64995181} λ = 2.64995181}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.61610835986494))-π/2
    2×atan(0.0730867373808946)-π/2
    2×0.0729570177732125-π/2
    0.145914035546425-1.57079632675     		φ = -1.42488229
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.64995181} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 151.831055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42488229 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.639742°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60408 KachelY 60055 2.64995181 -1.42488229 151.831055 -81.639742
    Oben rechts KachelX + 1 60409 KachelY 60055 2.65004768 -1.42488229 151.836548 -81.639742
    Unten links KachelX 60408 KachelY + 1 60056 2.64995181 -1.42489623 151.831055 -81.640540
    Unten rechts KachelX + 1 60409 KachelY + 1 60056 2.65004768 -1.42489623 151.836548 -81.640540
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42488229--1.42489623) × R
    1.39400000001011e-05 × 6371000     		dl = 88.8117400006441m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42488229--1.42489623) × R
    1.39400000001011e-05 × 6371000     		dr = 88.8117400006441m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.64995181-2.65004768) × cos(-1.42488229) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.145396814032269 × 6371000     		do = 88.8065958078722m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.64995181-2.65004768) × cos(-1.42489623) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.145383022152651 × 6371000     		du = 88.7981718964765m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42488229)-sin(-1.42489623))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145396814032269-0.145383022152651)×R²
    abs(2.65004768-2.64995181)×1.37918796174197e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.37918796174197e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.37918796174197e-05×40589641000000     		ar = 7886.69422660547m²