Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60408 / 40054
↖ ↑ ↗
← N 57.151140°
W 14.084473°		 ← 165.67 m → N 57.151140°
W 14.081726°		 →
↑
165.65 m
↓
↑
165.65 m
↓
N 57.149651°
W 14.084473°		 ← 165.68 m →
27 443 m²		 N 57.149651°
W 14.081726°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60408 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40054 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460880279541016 y=0.305591583251953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460880279541016 × 217)
    floor (0.460880279541016 × 131072)
    floor (60408.5)     		tx = 60408
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305591583251953 × 217)
    floor (0.305591583251953 × 131072)
    floor (40054.5)     		ty = 40054
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60408 / 40054 ti = "17/60408/40054"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60408/40054.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60408 ÷ 217
    60408 ÷ 131072     		x = 0.46087646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40054 ÷ 217
    40054 ÷ 131072     		y = 0.305587768554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46087646484375 × 2 - 1) × π
    -0.0782470703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24582042
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.305587768554688 × 2 - 1) × π
    0.388824462890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.22152807611827
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24582042} λ = -0.24582042}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22152807611827))-π/2
    2×atan(3.39236757089008)-π/2
    2×1.28413594955201-π/2
    2.56827189910402-1.57079632675     		φ = 0.99747557
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24582042} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.084473°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99747557 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.151140°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60408 KachelY 40054 -0.24582042 0.99747557 -14.084473 57.151140
    Oben rechts KachelX + 1 60409 KachelY 40054 -0.24577248 0.99747557 -14.081726 57.151140
    Unten links KachelX 60408 KachelY + 1 40055 -0.24582042 0.99744957 -14.084473 57.149651
    Unten rechts KachelX + 1 60409 KachelY + 1 40055 -0.24577248 0.99744957 -14.081726 57.149651
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99747557-0.99744957) × R
    2.59999999999705e-05 × 6371000     		dl = 165.645999999812m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99747557-0.99744957) × R
    2.59999999999705e-05 × 6371000     		dr = 165.645999999812m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24582042--0.24577248) × cos(0.99747557) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.54242481660613 × 6371000     		do = 165.670501006375m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24582042--0.24577248) × cos(0.99744957) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.542446659135879 × 6371000     		du = 165.677172277187m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99747557)-sin(0.99744957))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.54242481660613-0.542446659135879)×R²
    abs(-0.24577248--0.24582042)×2.18425297492386e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.18425297492386e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.18425297492386e-05×40589641000000     		ar = 27443.2083458094m²