Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 60407 / 60057
↖ ↑ ↗
← S 81.641339°
E151.825562°		 ← 88.79 m → S 81.641339°
E151.831055°		 →
↑
88.75 m
↓
↑
88.75 m
↓
S 81.642137°
E151.825562°		 ← 88.78 m →
7 880 m²		 S 81.642137°
E151.831055°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60407 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60057 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.921745300292969 y=0.916404724121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.921745300292969 × 216)
    floor (0.921745300292969 × 65536)
    floor (60407.5)     		tx = 60407
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.916404724121094 × 216)
    floor (0.916404724121094 × 65536)
    floor (60057.5)     		ty = 60057
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 60407 / 60057 ti = "16/60407/60057"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/60407/60057.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60407 ÷ 216
    60407 ÷ 65536     		x = 0.921737670898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60057 ÷ 216
    60057 ÷ 65536     		y = 0.916397094726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.921737670898438 × 2 - 1) × π
    0.843475341796875 × 3.1415926535     		Λ = 2.64985594
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.916397094726562 × 2 - 1) × π
    -0.832794189453125 × 3.1415926535     		Φ = -2.61630010746342
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.64985594} λ = 2.64985594}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.61630010746342))-π/2
    2×atan(0.0730727245180303)-π/2
    2×0.0729430793505448-π/2
    0.14588615870109-1.57079632675     		φ = -1.42491017
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.64985594} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 151.825562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42491017 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.641339°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60407 KachelY 60057 2.64985594 -1.42491017 151.825562 -81.641339
    Oben rechts KachelX + 1 60408 KachelY 60057 2.64995181 -1.42491017 151.831055 -81.641339
    Unten links KachelX 60407 KachelY + 1 60058 2.64985594 -1.42492410 151.825562 -81.642137
    Unten rechts KachelX + 1 60408 KachelY + 1 60058 2.64995181 -1.42492410 151.831055 -81.642137
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42491017--1.42492410) × R
    1.39299999999398e-05 × 6371000     		dl = 88.7480299996166m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42491017--1.42492410) × R
    1.39299999999398e-05 × 6371000     		dr = 88.7480299996166m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.64985594-2.64995181) × cos(-1.42491017) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.145369230244783 × 6371000     		do = 88.7897479678255m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.64985594-2.64995181) × cos(-1.42492410) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.14535544820246 × 6371000     		du = 88.7813300649294m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42491017)-sin(-1.42492410))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145369230244783-0.14535544820246)×R²
    abs(2.64995181-2.64985594)×1.37820423223023e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.37820423223023e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.37820423223023e-05×40589641000000     		ar = 7879.54168037862m²