Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 60407 / 60053
↖ ↑ ↗
← S 81.638144°
E151.825562°		 ← 88.82 m → S 81.638144°
E151.831055°		 →
↑
88.81 m
↓
↑
88.81 m
↓
S 81.638943°
E151.825562°		 ← 88.82 m →
7 888 m²		 S 81.638943°
E151.831055°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60407 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60053 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.921745300292969 y=0.916343688964844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.921745300292969 × 216)
    floor (0.921745300292969 × 65536)
    floor (60407.5)     		tx = 60407
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.916343688964844 × 216)
    floor (0.916343688964844 × 65536)
    floor (60053.5)     		ty = 60053
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 60407 / 60053 ti = "16/60407/60053"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/60407/60053.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60407 ÷ 216
    60407 ÷ 65536     		x = 0.921737670898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60053 ÷ 216
    60053 ÷ 65536     		y = 0.916336059570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.921737670898438 × 2 - 1) × π
    0.843475341796875 × 3.1415926535     		Λ = 2.64985594
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.916336059570312 × 2 - 1) × π
    -0.832672119140625 × 3.1415926535     		Φ = -2.61591661226646
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.64985594} λ = 2.64985594}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.61591661226646))-π/2
    2×atan(0.0731007529309492)-π/2
    2×0.0729709588403889-π/2
    0.145941917680778-1.57079632675     		φ = -1.42485441
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.64985594} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 151.825562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42485441 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.638144°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60407 KachelY 60053 2.64985594 -1.42485441 151.825562 -81.638144
    Oben rechts KachelX + 1 60408 KachelY 60053 2.64995181 -1.42485441 151.831055 -81.638144
    Unten links KachelX 60407 KachelY + 1 60054 2.64985594 -1.42486835 151.825562 -81.638943
    Unten rechts KachelX + 1 60408 KachelY + 1 60054 2.64995181 -1.42486835 151.831055 -81.638943
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42485441--1.42486835) × R
    1.3939999999879e-05 × 6371000     		dl = 88.8117399992294m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42485441--1.42486835) × R
    1.3939999999879e-05 × 6371000     		dr = 88.8117399992294m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.64985594-2.64995181) × cos(-1.42485441) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.145424397706739 × 6371000     		do = 88.82344357889m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.64985594-2.64995181) × cos(-1.42486835) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.145410605883632 × 6371000     		du = 88.8150197020106m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42485441)-sin(-1.42486835))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145424397706739-0.145410605883632)×R²
    abs(2.64995181-2.64985594)×1.37918231064849e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.37918231064849e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.37918231064849e-05×40589641000000     		ar = 7888.19050774751m²