Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60407 / 39923
↖ ↑ ↗
← N 57.345792°
W 14.087219°		 ← 164.80 m → N 57.345792°
W 14.084473°		 →
↑
164.82 m
↓
↑
164.82 m
↓
N 57.344310°
W 14.087219°		 ← 164.80 m →
27 162 m²		 N 57.344310°
W 14.084473°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60407 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39923 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460872650146484 y=0.304592132568359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460872650146484 × 217)
    floor (0.460872650146484 × 131072)
    floor (60407.5)     		tx = 60407
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.304592132568359 × 217)
    floor (0.304592132568359 × 131072)
    floor (39923.5)     		ty = 39923
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60407 / 39923 ti = "17/60407/39923"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60407/39923.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60407 ÷ 217
    60407 ÷ 131072     		x = 0.460868835449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39923 ÷ 217
    39923 ÷ 131072     		y = 0.304588317871094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460868835449219 × 2 - 1) × π
    -0.0782623291015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24586836
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.304588317871094 × 2 - 1) × π
    0.390823364257812 × 3.1415926535     		Φ = 1.2278078099685
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24586836} λ = -0.24586836}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2278078099685))-π/2
    2×atan(3.41373776569741)-π/2
    2×1.28583460333075-π/2
    2.57166920666151-1.57079632675     		φ = 1.00087288
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24586836} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.087219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00087288 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.345792°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60407 KachelY 39923 -0.24586836 1.00087288 -14.087219 57.345792
    Oben rechts KachelX + 1 60408 KachelY 39923 -0.24582042 1.00087288 -14.084473 57.345792
    Unten links KachelX 60407 KachelY + 1 39924 -0.24586836 1.00084701 -14.087219 57.344310
    Unten rechts KachelX + 1 60408 KachelY + 1 39924 -0.24582042 1.00084701 -14.084473 57.344310
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00087288-1.00084701) × R
    2.58699999999834e-05 × 6371000     		dl = 164.817769999894m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00087288-1.00084701) × R
    2.58699999999834e-05 × 6371000     		dr = 164.817769999894m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24586836--0.24582042) × cos(1.00087288) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.539567596934776 × 6371000     		do = 164.797832573813m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24586836--0.24582042) × cos(1.00084701) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.539589377801087 × 6371000     		du = 164.804485011024m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00087288)-sin(1.00084701))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.539567596934776-0.539589377801087)×R²
    abs(-0.24582042--0.24586836)×2.17808663107721e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.17808663107721e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.17808663107721e-05×40589641000000     		ar = 27162.1594870397m²