Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60406 / 40169
↖ ↑ ↗
← N 56.979415°
W 14.089966°		 ← 166.44 m → N 56.979415°
W 14.087219°		 →
↑
166.41 m
↓
↑
166.41 m
↓
N 56.977918°
W 14.089966°		 ← 166.45 m →
27 698 m²		 N 56.977918°
W 14.087219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60406 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40169 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460865020751953 y=0.306468963623047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460865020751953 × 217)
    floor (0.460865020751953 × 131072)
    floor (60406.5)     		tx = 60406
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306468963623047 × 217)
    floor (0.306468963623047 × 131072)
    floor (40169.5)     		ty = 40169
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60406 / 40169 ti = "17/60406/40169"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60406/40169.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60406 ÷ 217
    60406 ÷ 131072     		x = 0.460861206054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40169 ÷ 217
    40169 ÷ 131072     		y = 0.306465148925781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460861206054688 × 2 - 1) × π
    -0.078277587890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24591630
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.306465148925781 × 2 - 1) × π
    0.387069702148438 × 3.1415926535     		Φ = 1.21601533266196
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24591630} λ = -0.24591630}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21601533266196))-π/2
    2×atan(3.37371777177241)-π/2
    2×1.28263735984859-π/2
    2.56527471969717-1.57079632675     		φ = 0.99447839
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24591630} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.089966°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99447839 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.979415°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60406 KachelY 40169 -0.24591630 0.99447839 -14.089966 56.979415
    Oben rechts KachelX + 1 60407 KachelY 40169 -0.24586836 0.99447839 -14.087219 56.979415
    Unten links KachelX 60406 KachelY + 1 40170 -0.24591630 0.99445227 -14.089966 56.977918
    Unten rechts KachelX + 1 60407 KachelY + 1 40170 -0.24586836 0.99445227 -14.087219 56.977918
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99447839-0.99445227) × R
    2.61200000000184e-05 × 6371000     		dl = 166.410520000117m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99447839-0.99445227) × R
    2.61200000000184e-05 × 6371000     		dr = 166.410520000117m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24591630--0.24586836) × cos(0.99447839) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.544940320467954 × 6371000     		do = 166.438800634749m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24591630--0.24586836) × cos(0.99445227) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.54496222124472 × 6371000     		du = 166.4454896957m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99447839)-sin(0.99445227))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.544940320467954-0.54496222124472)×R²
    abs(-0.24586836--0.24591630)×2.19007767657819e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.19007767657819e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.19007767657819e-05×40589641000000     		ar = 27697.7239284595m²