Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60405 / 41943
↖ ↑ ↗
← N 54.228314°
W 14.092712°		 ← 178.50 m → N 54.228314°
W 14.089966°		 →
↑
178.58 m
↓
↑
178.58 m
↓
N 54.226708°
W 14.092712°		 ← 178.51 m →
31 877 m²		 N 54.226708°
W 14.089966°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60405 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41943 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460857391357422 y=0.320003509521484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460857391357422 × 217)
    floor (0.460857391357422 × 131072)
    floor (60405.5)     		tx = 60405
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.320003509521484 × 217)
    floor (0.320003509521484 × 131072)
    floor (41943.5)     		ty = 41943
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60405 / 41943 ti = "17/60405/41943"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60405/41943.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60405 ÷ 217
    60405 ÷ 131072     		x = 0.460853576660156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41943 ÷ 217
    41943 ÷ 131072     		y = 0.319999694824219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460853576660156 × 2 - 1) × π
    -0.0782928466796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24596423
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.319999694824219 × 2 - 1) × π
    0.360000610351562 × 3.1415926535     		Φ = 1.13097527273598
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24596423} λ = -0.24596423}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13097527273598))-π/2
    2×atan(3.09867708221552)-π/2
    2×1.25862947108364-π/2
    2.51725894216727-1.57079632675     		φ = 0.94646262
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24596423} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.092712°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94646262 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.228314°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60405 KachelY 41943 -0.24596423 0.94646262 -14.092712 54.228314
    Oben rechts KachelX + 1 60406 KachelY 41943 -0.24591630 0.94646262 -14.089966 54.228314
    Unten links KachelX 60405 KachelY + 1 41944 -0.24596423 0.94643459 -14.092712 54.226708
    Unten rechts KachelX + 1 60406 KachelY + 1 41944 -0.24591630 0.94643459 -14.089966 54.226708
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94646262-0.94643459) × R
    2.80300000000677e-05 × 6371000     		dl = 178.579130000431m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94646262-0.94643459) × R
    2.80300000000677e-05 × 6371000     		dr = 178.579130000431m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24596423--0.24591630) × cos(0.94646262) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.584556803888349 × 6371000     		do = 178.501452285664m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24596423--0.24591630) × cos(0.94643459) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.584579545877294 × 6371000     		du = 178.508396825575m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94646262)-sin(0.94643459))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.584556803888349-0.584579545877294)×R²
    abs(-0.24591630--0.24596423)×2.27419889455849e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.27419889455849e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.27419889455849e-05×40589641000000     		ar = 31877.2541300028m²