Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60405 / 39939
↖ ↑ ↗
← N 57.322073°
W 14.092712°		 ← 164.87 m → N 57.322073°
W 14.089966°		 →
↑
164.88 m
↓
↑
164.88 m
↓
N 57.320590°
W 14.092712°		 ← 164.88 m →
27 185 m²		 N 57.320590°
W 14.089966°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60405 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39939 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460857391357422 y=0.304714202880859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460857391357422 × 217)
    floor (0.460857391357422 × 131072)
    floor (60405.5)     		tx = 60405
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.304714202880859 × 217)
    floor (0.304714202880859 × 131072)
    floor (39939.5)     		ty = 39939
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60405 / 39939 ti = "17/60405/39939"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60405/39939.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60405 ÷ 217
    60405 ÷ 131072     		x = 0.460853576660156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39939 ÷ 217
    39939 ÷ 131072     		y = 0.304710388183594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460853576660156 × 2 - 1) × π
    -0.0782928466796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24596423
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.304710388183594 × 2 - 1) × π
    0.390579223632812 × 3.1415926535     		Φ = 1.22704081957458
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24596423} λ = -0.24596423}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22704081957458))-π/2
    2×atan(3.41112046547413)-π/2
    2×1.28562761492937-π/2
    2.57125522985874-1.57079632675     		φ = 1.00045890
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24596423} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.092712°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00045890 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.322073°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60405 KachelY 39939 -0.24596423 1.00045890 -14.092712 57.322073
    Oben rechts KachelX + 1 60406 KachelY 39939 -0.24591630 1.00045890 -14.089966 57.322073
    Unten links KachelX 60405 KachelY + 1 39940 -0.24596423 1.00043302 -14.092712 57.320590
    Unten rechts KachelX + 1 60406 KachelY + 1 39940 -0.24591630 1.00043302 -14.089966 57.320590
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00045890-1.00043302) × R
    2.58799999999226e-05 × 6371000     		dl = 164.881479999507m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00045890-1.00043302) × R
    2.58799999999226e-05 × 6371000     		dr = 164.881479999507m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24596423--0.24591630) × cos(1.00045890) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.539916097955848 × 6371000     		do = 164.869875701482m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24596423--0.24591630) × cos(1.00043302) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.539937881458637 × 6371000     		du = 164.876527556114m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00045890)-sin(1.00043302))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.539916097955848-0.539937881458637)×R²
    abs(-0.24591630--0.24596423)×2.17835027896962e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.17835027896962e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.17835027896962e-05×40589641000000     		ar = 27184.5374983138m²