Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60404 / 41956
↖ ↑ ↗
← N 54.207436°
W 14.095459°		 ← 178.63 m → N 54.207436°
W 14.092712°		 →
↑
178.64 m
↓
↑
178.64 m
↓
N 54.205830°
W 14.095459°		 ← 178.64 m →
31 911 m²		 N 54.205830°
W 14.092712°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60404 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41956 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460849761962891 y=0.320102691650391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460849761962891 × 217)
    floor (0.460849761962891 × 131072)
    floor (60404.5)     		tx = 60404
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.320102691650391 × 217)
    floor (0.320102691650391 × 131072)
    floor (41956.5)     		ty = 41956
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60404 / 41956 ti = "17/60404/41956"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60404/41956.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60404 ÷ 217
    60404 ÷ 131072     		x = 0.460845947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41956 ÷ 217
    41956 ÷ 131072     		y = 0.320098876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460845947265625 × 2 - 1) × π
    -0.07830810546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24601217
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.320098876953125 × 2 - 1) × π
    0.35980224609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.13035209304092
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24601217} λ = -0.24601217}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13035209304092))-π/2
    2×atan(3.09674665114153)-π/2
    2×1.25844728306616-π/2
    2.51689456613232-1.57079632675     		φ = 0.94609824
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24601217} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.095459°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94609824 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.207436°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60404 KachelY 41956 -0.24601217 0.94609824 -14.095459 54.207436
    Oben rechts KachelX + 1 60405 KachelY 41956 -0.24596423 0.94609824 -14.092712 54.207436
    Unten links KachelX 60404 KachelY + 1 41957 -0.24601217 0.94607020 -14.095459 54.205830
    Unten rechts KachelX + 1 60405 KachelY + 1 41957 -0.24596423 0.94607020 -14.092712 54.205830
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94609824-0.94607020) × R
    2.80400000000069e-05 × 6371000     		dl = 178.642840000044m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94609824-0.94607020) × R
    2.80400000000069e-05 × 6371000     		dr = 178.642840000044m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24601217--0.24596423) × cos(0.94609824) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.58485240580328 × 6371000     		do = 178.628978833233m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24601217--0.24596423) × cos(0.94607020) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.584875149931421 × 6371000     		du = 178.635925475401m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94609824)-sin(0.94607020))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.58485240580328-0.584875149931421)×R²
    abs(-0.24596423--0.24601217)×2.27441281404062e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.27441281404062e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.27441281404062e-05×40589641000000     		ar = 31911.4085709437m²