Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60404 / 39876
↖ ↑ ↗
← N 57.415378°
W 14.095459°		 ← 164.49 m → N 57.415378°
W 14.092712°		 →
↑
164.50 m
↓
↑
164.50 m
↓
N 57.413899°
W 14.095459°		 ← 164.49 m →
27 058 m²		 N 57.413899°
W 14.092712°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60404 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39876 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460849761962891 y=0.304233551025391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460849761962891 × 217)
    floor (0.460849761962891 × 131072)
    floor (60404.5)     		tx = 60404
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.304233551025391 × 217)
    floor (0.304233551025391 × 131072)
    floor (39876.5)     		ty = 39876
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60404 / 39876 ti = "17/60404/39876"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60404/39876.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60404 ÷ 217
    60404 ÷ 131072     		x = 0.460845947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39876 ÷ 217
    39876 ÷ 131072     		y = 0.304229736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460845947265625 × 2 - 1) × π
    -0.07830810546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24601217
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.304229736328125 × 2 - 1) × π
    0.39154052734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.23006084425064
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24601217} λ = -0.24601217}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23006084425064))-π/2
    2×atan(3.42143770476994)-π/2
    2×1.28644185918665-π/2
    2.57288371837329-1.57079632675     		φ = 1.00208739
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24601217} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.095459°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00208739 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.415378°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60404 KachelY 39876 -0.24601217 1.00208739 -14.095459 57.415378
    Oben rechts KachelX + 1 60405 KachelY 39876 -0.24596423 1.00208739 -14.092712 57.415378
    Unten links KachelX 60404 KachelY + 1 39877 -0.24601217 1.00206157 -14.095459 57.413899
    Unten rechts KachelX + 1 60405 KachelY + 1 39877 -0.24596423 1.00206157 -14.092712 57.413899
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00208739-1.00206157) × R
    2.58200000000652e-05 × 6371000     		dl = 164.499220000416m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00208739-1.00206157) × R
    2.58200000000652e-05 × 6371000     		dr = 164.499220000416m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24601217--0.24596423) × cos(1.00208739) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.538544651923346 × 6371000     		do = 164.485398836718m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24601217--0.24596423) × cos(1.00206157) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.538566407597654 × 6371000     		du = 164.492043579643m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00208739)-sin(1.00206157))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.538544651923346-0.538566407597654)×R²
    abs(-0.24596423--0.24601217)×2.17556743083991e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.17556743083991e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.17556743083991e-05×40589641000000     		ar = 27058.2663391098m²