Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60402 / 39983
↖ ↑ ↗
← N 57.256766°
W 14.100952°		 ← 165.16 m → N 57.256766°
W 14.098206°		 →
↑
165.20 m
↓
↑
165.20 m
↓
N 57.255281°
W 14.100952°		 ← 165.17 m →
27 285 m²		 N 57.255281°
W 14.098206°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60402 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39983 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460834503173828 y=0.305049896240234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460834503173828 × 217)
    floor (0.460834503173828 × 131072)
    floor (60402.5)     		tx = 60402
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305049896240234 × 217)
    floor (0.305049896240234 × 131072)
    floor (39983.5)     		ty = 39983
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60402 / 39983 ti = "17/60402/39983"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60402/39983.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60402 ÷ 217
    60402 ÷ 131072     		x = 0.460830688476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39983 ÷ 217
    39983 ÷ 131072     		y = 0.305046081542969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460830688476562 × 2 - 1) × π
    -0.078338623046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24610804
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.305046081542969 × 2 - 1) × π
    0.389907836914062 × 3.1415926535     		Φ = 1.22493159599129
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24610804} λ = -0.24610804}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22493159599129))-π/2
    2×atan(3.40393323214851)-π/2
    2×1.28505770742235-π/2
    2.5701154148447-1.57079632675     		φ = 0.99931909
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24610804} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.100952°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99931909 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.256766°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60402 KachelY 39983 -0.24610804 0.99931909 -14.100952 57.256766
    Oben rechts KachelX + 1 60403 KachelY 39983 -0.24606011 0.99931909 -14.098206 57.256766
    Unten links KachelX 60402 KachelY + 1 39984 -0.24610804 0.99929316 -14.100952 57.255281
    Unten rechts KachelX + 1 60403 KachelY + 1 39984 -0.24606011 0.99929316 -14.098206 57.255281
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99931909-0.99929316) × R
    2.59299999999518e-05 × 6371000     		dl = 165.200029999693m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99931909-0.99929316) × R
    2.59299999999518e-05 × 6371000     		dr = 165.200029999693m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24610804--0.24606011) × cos(0.99931909) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.540875146579679 × 6371000     		do = 165.162732736124m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24610804--0.24606011) × cos(0.99929316) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.540896956195847 × 6371000     		du = 165.16939256479m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99931909)-sin(0.99929316))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.540875146579679-0.540896956195847)×R²
    abs(-0.24606011--0.24610804)×2.18096161679338e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.18096161679338e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.18096161679338e-05×40589641000000     		ar = 27285.438506301m²