Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60401 / 39982
↖ ↑ ↗
← N 57.258252°
W 14.103699°		 ← 165.19 m → N 57.258252°
W 14.100952°		 →
↑
165.20 m
↓
↑
165.20 m
↓
N 57.256766°
W 14.103699°		 ← 165.20 m →
27 290 m²		 N 57.256766°
W 14.100952°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60401 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39982 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460826873779297 y=0.305042266845703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460826873779297 × 217)
    floor (0.460826873779297 × 131072)
    floor (60401.5)     		tx = 60401
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305042266845703 × 217)
    floor (0.305042266845703 × 131072)
    floor (39982.5)     		ty = 39982
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60401 / 39982 ti = "17/60401/39982"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60401/39982.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60401 ÷ 217
    60401 ÷ 131072     		x = 0.460823059082031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39982 ÷ 217
    39982 ÷ 131072     		y = 0.305038452148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460823059082031 × 2 - 1) × π
    -0.0783538818359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24615598
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.305038452148438 × 2 - 1) × π
    0.389923095703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.22497953289091
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24615598} λ = -0.24615598}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22497953289091))-π/2
    2×atan(3.40409641006526)-π/2
    2×1.28507067109984-π/2
    2.57014134219969-1.57079632675     		φ = 0.99934502
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24615598} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.103699°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99934502 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.258252°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60401 KachelY 39982 -0.24615598 0.99934502 -14.103699 57.258252
    Oben rechts KachelX + 1 60402 KachelY 39982 -0.24610804 0.99934502 -14.100952 57.258252
    Unten links KachelX 60401 KachelY + 1 39983 -0.24615598 0.99931909 -14.103699 57.256766
    Unten rechts KachelX + 1 60402 KachelY + 1 39983 -0.24610804 0.99931909 -14.100952 57.256766
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99934502-0.99931909) × R
    2.59300000000628e-05 × 6371000     		dl = 165.2000300004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99934502-0.99931909) × R
    2.59300000000628e-05 × 6371000     		dr = 165.2000300004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24615598--0.24610804) × cos(0.99934502) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.540853336599846 × 6371000     		do = 165.190530562464m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24615598--0.24610804) × cos(0.99931909) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.540875146579679 × 6371000     		du = 165.197191891694m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99934502)-sin(0.99931909))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.540853336599846-0.540875146579679)×R²
    abs(-0.24610804--0.24615598)×2.18099798334759e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.18099798334759e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.18099798334759e-05×40589641000000     		ar = 27290.0308321963m²