Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60400 / 39984
↖ ↑ ↗
← N 57.255281°
W 14.106446°		 ← 165.20 m → N 57.255281°
W 14.103699°		 →
↑
165.20 m
↓
↑
165.20 m
↓
N 57.253795°
W 14.106446°		 ← 165.21 m →
27 292 m²		 N 57.253795°
W 14.103699°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60400 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39984 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460819244384766 y=0.305057525634766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460819244384766 × 217)
    floor (0.460819244384766 × 131072)
    floor (60400.5)     		tx = 60400
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305057525634766 × 217)
    floor (0.305057525634766 × 131072)
    floor (39984.5)     		ty = 39984
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60400 / 39984 ti = "17/60400/39984"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60400/39984.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60400 ÷ 217
    60400 ÷ 131072     		x = 0.4608154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39984 ÷ 217
    39984 ÷ 131072     		y = 0.3050537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4608154296875 × 2 - 1) × π
    -0.078369140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24620392
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3050537109375 × 2 - 1) × π
    0.389892578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.22488365909167
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24620392} λ = -0.24620392}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22488365909167))-π/2
    2×atan(3.40377006205381)-π/2
    2×1.28504474322215-π/2
    2.57008948644431-1.57079632675     		φ = 0.99929316
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24620392} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.106446°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99929316 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.255281°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60400 KachelY 39984 -0.24620392 0.99929316 -14.106446 57.255281
    Oben rechts KachelX + 1 60401 KachelY 39984 -0.24615598 0.99929316 -14.103699 57.255281
    Unten links KachelX 60400 KachelY + 1 39985 -0.24620392 0.99926723 -14.106446 57.253795
    Unten rechts KachelX + 1 60401 KachelY + 1 39985 -0.24615598 0.99926723 -14.103699 57.253795
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99929316-0.99926723) × R
    2.59300000000628e-05 × 6371000     		dl = 165.2000300004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99929316-0.99926723) × R
    2.59300000000628e-05 × 6371000     		dr = 165.2000300004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24620392--0.24615598) × cos(0.99929316) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.540896956195847 × 6371000     		do = 165.203853109852m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24620392--0.24615598) × cos(0.99926723) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.540918765448335 × 6371000     		du = 165.210514216932m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99929316)-sin(0.99926723))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.540896956195847-0.540918765448335)×R²
    abs(-0.24615598--0.24620392)×2.18092524878477e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.18092524878477e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.18092524878477e-05×40589641000000     		ar = 27292.2316988713m²