Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6040 / 10408
↖ ↑ ↗
← S 43.707593°
W 47.285156°		 ← 1 766.14 m → S 43.707593°
W 47.263184°		 →
↑
1 765.98 m
↓
↑
1 765.98 m
↓
S 43.723475°
W 47.285156°		 ← 1 765.67 m →
3 118 551 m²		 S 43.723475°
W 47.263184°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6040 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10408 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.368682861328125 y=0.635284423828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.368682861328125 × 214)
    floor (0.368682861328125 × 16384)
    floor (6040.5)     		tx = 6040
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635284423828125 × 214)
    floor (0.635284423828125 × 16384)
    floor (10408.5)     		ty = 10408
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6040 / 10408 ti = "14/6040/10408"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6040/10408.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6040 ÷ 214
    6040 ÷ 16384     		x = 0.36865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10408 ÷ 214
    10408 ÷ 16384     		y = 0.63525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36865234375 × 2 - 1) × π
    -0.2626953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.82528166
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63525390625 × 2 - 1) × π
    -0.2705078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.849825356464356
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.82528166} λ = -0.82528166}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.849825356464356))-π/2
    2×atan(0.427489583722165)-π/2
    2×0.403977456021723-π/2
    0.807954912043446-1.57079632675     		φ = -0.76284141
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.82528166} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.285156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76284141 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.707593°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6040 KachelY 10408 -0.82528166 -0.76284141 -47.285156 -43.707593
    Oben rechts KachelX + 1 6041 KachelY 10408 -0.82489817 -0.76284141 -47.263184 -43.707593
    Unten links KachelX 6040 KachelY + 1 10409 -0.82528166 -0.76311860 -47.285156 -43.723475
    Unten rechts KachelX + 1 6041 KachelY + 1 10409 -0.82489817 -0.76311860 -47.263184 -43.723475
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76284141--0.76311860) × R
    0.000277189999999927 × 6371000     		dl = 1765.97748999954m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76284141--0.76311860) × R
    0.000277189999999927 × 6371000     		dr = 1765.97748999954m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.82528166--0.82489817) × cos(-0.76284141) × R
    0.000383490000000042 × 0.72287557907163 × 6371000     		do = 1766.14030611781m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.82528166--0.82489817) × cos(-0.76311860) × R
    0.000383490000000042 × 0.722684019051131 × 6371000     		du = 1765.67228384256m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76284141)-sin(-0.76311860))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.72287557907163-0.722684019051131)×R²
    abs(-0.82489817--0.82528166)×0.000191560020498582×R²
    0.000383490000000042×0.000191560020498582×6371000²
    0.000383490000000042×0.000191560020498582×40589641000000     		ar = 3118550.78634992m²