Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60399 / 56566
↖ ↑ ↗
← N 23.910949°
W 14.109192°		 ← 279.15 m → N 23.910949°
W 14.106446°		 →
↑
279.18 m
↓
↑
279.18 m
↓
N 23.908438°
W 14.109192°		 ← 279.16 m →
77 934 m²		 N 23.908438°
W 14.106446°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60399 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56566 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460811614990234 y=0.431568145751953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460811614990234 × 217)
    floor (0.460811614990234 × 131072)
    floor (60399.5)     		tx = 60399
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.431568145751953 × 217)
    floor (0.431568145751953 × 131072)
    floor (56566.5)     		ty = 56566
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60399 / 56566 ti = "17/60399/56566"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60399/56566.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60399 ÷ 217
    60399 ÷ 131072     		x = 0.460807800292969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56566 ÷ 217
    56566 ÷ 131072     		y = 0.431564331054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460807800292969 × 2 - 1) × π
    -0.0783843994140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24625185
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.431564331054688 × 2 - 1) × π
    0.136871337890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.429993989591904
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24625185} λ = -0.24625185}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.429993989591904))-π/2
    2×atan(1.53724828403098)-π/2
    2×0.994060554842696-π/2
    1.98812110968539-1.57079632675     		φ = 0.41732478
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24625185} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.109192°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41732478 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.910949°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60399 KachelY 56566 -0.24625185 0.41732478 -14.109192 23.910949
    Oben rechts KachelX + 1 60400 KachelY 56566 -0.24620392 0.41732478 -14.106446 23.910949
    Unten links KachelX 60399 KachelY + 1 56567 -0.24625185 0.41728096 -14.109192 23.908438
    Unten rechts KachelX + 1 60400 KachelY + 1 56567 -0.24620392 0.41728096 -14.106446 23.908438
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41732478-0.41728096) × R
    4.38200000000277e-05 × 6371000     		dl = 279.177220000177m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41732478-0.41728096) × R
    4.38200000000277e-05 × 6371000     		dr = 279.177220000177m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24625185--0.24620392) × cos(0.41732478) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.914176520533927 × 6371000     		do = 279.154798088586m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24625185--0.24620392) × cos(0.41728096) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.914194280615747 × 6371000     		du = 279.160221343223m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41732478)-sin(0.41728096))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.914176520533927-0.914194280615747)×R²
    abs(-0.24620392--0.24625185)×1.7760081820084e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.7760081820084e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.7760081820084e-05×40589641000000     		ar = 77934.4175171266m²