Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60399 / 56443
↖ ↑ ↗
← N 24.219414°
W 14.109192°		 ← 278.48 m → N 24.219414°
W 14.106446°		 →
↑
278.48 m
↓
↑
278.48 m
↓
N 24.216910°
W 14.109192°		 ← 278.49 m →
77 552 m²		 N 24.216910°
W 14.106446°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60399 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56443 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460811614990234 y=0.430629730224609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460811614990234 × 217)
    floor (0.460811614990234 × 131072)
    floor (60399.5)     		tx = 60399
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430629730224609 × 217)
    floor (0.430629730224609 × 131072)
    floor (56443.5)     		ty = 56443
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60399 / 56443 ti = "17/60399/56443"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60399/56443.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60399 ÷ 217
    60399 ÷ 131072     		x = 0.460807800292969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56443 ÷ 217
    56443 ÷ 131072     		y = 0.430625915527344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460807800292969 × 2 - 1) × π
    -0.0783843994140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24625185
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.430625915527344 × 2 - 1) × π
    0.138748168945312 × 3.1415926535     		Φ = 0.435890228245171
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24625185} λ = -0.24625185}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.435890228245171))-π/2
    2×atan(1.54633904108237)-π/2
    2×0.996752425426866-π/2
    1.99350485085373-1.57079632675     		φ = 0.42270852
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24625185} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.109192°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42270852 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.219414°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60399 KachelY 56443 -0.24625185 0.42270852 -14.109192 24.219414
    Oben rechts KachelX + 1 60400 KachelY 56443 -0.24620392 0.42270852 -14.106446 24.219414
    Unten links KachelX 60399 KachelY + 1 56444 -0.24625185 0.42266481 -14.109192 24.216910
    Unten rechts KachelX + 1 60400 KachelY + 1 56444 -0.24620392 0.42266481 -14.106446 24.216910
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42270852-0.42266481) × R
    4.37099999999746e-05 × 6371000     		dl = 278.476409999838m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42270852-0.42266481) × R
    4.37099999999746e-05 × 6371000     		dr = 278.476409999838m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24625185--0.24620392) × cos(0.42270852) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.91198116507537 × 6371000     		do = 278.484419889189m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24625185--0.24620392) × cos(0.42266481) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.91199909544812 × 6371000     		du = 278.489895144211m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42270852)-sin(0.42266481))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.91198116507537-0.91199909544812)×R²
    abs(-0.24620392--0.24625185)×1.79303727501079e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.79303727501079e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.79303727501079e-05×40589641000000     		ar = 77552.1038686197m²