Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60398 / 40785
↖ ↑ ↗
← N 56.045965°
W 14.111938°		 ← 170.59 m → N 56.045965°
W 14.109192°		 →
↑
170.55 m
↓
↑
170.55 m
↓
N 56.044432°
W 14.111938°		 ← 170.60 m →
29 095 m²		 N 56.044432°
W 14.109192°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60398 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40785 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460803985595703 y=0.311168670654297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460803985595703 × 217)
    floor (0.460803985595703 × 131072)
    floor (60398.5)     		tx = 60398
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.311168670654297 × 217)
    floor (0.311168670654297 × 131072)
    floor (40785.5)     		ty = 40785
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60398 / 40785 ti = "17/60398/40785"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60398/40785.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60398 ÷ 217
    60398 ÷ 131072     		x = 0.460800170898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40785 ÷ 217
    40785 ÷ 131072     		y = 0.311164855957031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460800170898438 × 2 - 1) × π
    -0.078399658203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24629979
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.311164855957031 × 2 - 1) × π
    0.377670288085938 × 3.1415926535     		Φ = 1.18648620249601
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24629979} λ = -0.24629979}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18648620249601))-π/2
    2×atan(3.27555133831683)-π/2
    2×1.27449147923207-π/2
    2.54898295846415-1.57079632675     		φ = 0.97818663
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24629979} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.111938°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97818663 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.045965°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60398 KachelY 40785 -0.24629979 0.97818663 -14.111938 56.045965
    Oben rechts KachelX + 1 60399 KachelY 40785 -0.24625185 0.97818663 -14.109192 56.045965
    Unten links KachelX 60398 KachelY + 1 40786 -0.24629979 0.97815986 -14.111938 56.044432
    Unten rechts KachelX + 1 60399 KachelY + 1 40786 -0.24625185 0.97815986 -14.109192 56.044432
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97818663-0.97815986) × R
    2.67699999999538e-05 × 6371000     		dl = 170.551669999705m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97818663-0.97815986) × R
    2.67699999999538e-05 × 6371000     		dr = 170.551669999705m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24629979--0.24625185) × cos(0.97818663) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.558527629126216 × 6371000     		do = 170.588714436307m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24629979--0.24625185) × cos(0.97815986) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.558549834264098 × 6371000     		du = 170.595496456976m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97818663)-sin(0.97815986))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.558527629126216-0.558549834264098)×R²
    abs(-0.24625185--0.24629979)×2.2205137881981e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.2205137881981e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.2205137881981e-05×40589641000000     		ar = 29094.7684745896m²