Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60397 / 84115
↖ ↑ ↗
← S 45.373373°
W 14.114685°		 ← 214.56 m → S 45.373373°
W 14.111938°		 →
↑
214.58 m
↓
↑
214.58 m
↓
S 45.375303°
W 14.114685°		 ← 214.55 m →
46 038 m²		 S 45.375303°
W 14.111938°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60397 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84115 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460796356201172 y=0.641750335693359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460796356201172 × 217)
    floor (0.460796356201172 × 131072)
    floor (60397.5)     		tx = 60397
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641750335693359 × 217)
    floor (0.641750335693359 × 131072)
    floor (84115.5)     		ty = 84115
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60397 / 84115 ti = "17/60397/84115"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60397/84115.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60397 ÷ 217
    60397 ÷ 131072     		x = 0.460792541503906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84115 ÷ 217
    84115 ÷ 131072     		y = 0.641746520996094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460792541503906 × 2 - 1) × π
    -0.0784149169921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24634773
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.641746520996094 × 2 - 1) × π
    -0.283493041992188 × 3.1415926535     		Φ = -0.890619658041023
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24634773} λ = -0.24634773}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.890619658041023))-π/2
    2×atan(0.410401365437772)-π/2
    2×0.389440788016417-π/2
    0.778881576032834-1.57079632675     		φ = -0.79191475
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24634773} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.114685°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79191475 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.373373°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60397 KachelY 84115 -0.24634773 -0.79191475 -14.114685 -45.373373
    Oben rechts KachelX + 1 60398 KachelY 84115 -0.24629979 -0.79191475 -14.111938 -45.373373
    Unten links KachelX 60397 KachelY + 1 84116 -0.24634773 -0.79194843 -14.114685 -45.375303
    Unten rechts KachelX + 1 60398 KachelY + 1 84116 -0.24629979 -0.79194843 -14.111938 -45.375303
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79191475--0.79194843) × R
    3.36800000000359e-05 × 6371000     		dl = 214.575280000229m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79191475--0.79194843) × R
    3.36800000000359e-05 × 6371000     		dr = 214.575280000229m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24634773--0.24629979) × cos(-0.79191475) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.702483877312755 × 6371000     		do = 214.556658066301m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24634773--0.24629979) × cos(-0.79194843) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.702459906869875 × 6371000     		du = 214.549336876046m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79191475)-sin(-0.79194843))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.702483877312755-0.702459906869875)×R²
    abs(-0.24629979--0.24634773)×2.39704428799392e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39704428799392e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39704428799392e-05×40589641000000     		ar = 46037.7695116683m²