Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60397 / 84114
↖ ↑ ↗
← S 45.371444°
W 14.114685°		 ← 214.56 m → S 45.371444°
W 14.111938°		 →
↑
214.51 m
↓
↑
214.51 m
↓
S 45.373373°
W 14.114685°		 ← 214.56 m →
46 026 m²		 S 45.373373°
W 14.111938°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60397 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84114 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460796356201172 y=0.641742706298828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460796356201172 × 217)
    floor (0.460796356201172 × 131072)
    floor (60397.5)     		tx = 60397
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641742706298828 × 217)
    floor (0.641742706298828 × 131072)
    floor (84114.5)     		ty = 84114
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60397 / 84114 ti = "17/60397/84114"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60397/84114.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60397 ÷ 217
    60397 ÷ 131072     		x = 0.460792541503906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84114 ÷ 217
    84114 ÷ 131072     		y = 0.641738891601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460792541503906 × 2 - 1) × π
    -0.0784149169921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24634773
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.641738891601562 × 2 - 1) × π
    -0.283477783203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.890571721141403
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24634773} λ = -0.24634773}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.890571721141403))-π/2
    2×atan(0.410421039278379)-π/2
    2×0.389457625753179-π/2
    0.778915251506358-1.57079632675     		φ = -0.79188108
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24634773} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.114685°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79188108 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.371444°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60397 KachelY 84114 -0.24634773 -0.79188108 -14.114685 -45.371444
    Oben rechts KachelX + 1 60398 KachelY 84114 -0.24629979 -0.79188108 -14.111938 -45.371444
    Unten links KachelX 60397 KachelY + 1 84115 -0.24634773 -0.79191475 -14.114685 -45.373373
    Unten rechts KachelX + 1 60398 KachelY + 1 84115 -0.24629979 -0.79191475 -14.111938 -45.373373
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79188108--0.79191475) × R
    3.36699999999857e-05 × 6371000     		dl = 214.511569999909m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79188108--0.79191475) × R
    3.36699999999857e-05 × 6371000     		dr = 214.511569999909m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24634773--0.24629979) × cos(-0.79188108) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.702507839842018 × 6371000     		do = 214.563976839533m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24634773--0.24629979) × cos(-0.79191475) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.702483877312755 × 6371000     		du = 214.556658066301m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79188108)-sin(-0.79191475))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.702507839842018-0.702483877312755)×R²
    abs(-0.24629979--0.24634773)×2.39625292626222e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39625292626222e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39625292626222e-05×40589641000000     		ar = 46025.6705608255m²