Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60397 / 78805
↖ ↑ ↗
← S 34.209531°
W 14.114685°		 ← 252.58 m → S 34.209531°
W 14.111938°		 →
↑
252.55 m
↓
↑
252.55 m
↓
S 34.211802°
W 14.114685°		 ← 252.58 m →
63 788 m²		 S 34.211802°
W 14.111938°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60397 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78805 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460796356201172 y=0.601238250732422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460796356201172 × 217)
    floor (0.460796356201172 × 131072)
    floor (60397.5)     		tx = 60397
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.601238250732422 × 217)
    floor (0.601238250732422 × 131072)
    floor (78805.5)     		ty = 78805
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60397 / 78805 ti = "17/60397/78805"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60397/78805.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60397 ÷ 217
    60397 ÷ 131072     		x = 0.460792541503906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78805 ÷ 217
    78805 ÷ 131072     		y = 0.601234436035156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460792541503906 × 2 - 1) × π
    -0.0784149169921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24634773
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.601234436035156 × 2 - 1) × π
    -0.202468872070312 × 3.1415926535     		Φ = -0.636074721058525
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24634773} λ = -0.24634773}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.636074721058525))-π/2
    2×atan(0.529366261423468)-π/2
    2×0.486863689389489-π/2
    0.973727378778978-1.57079632675     		φ = -0.59706895
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24634773} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.114685°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59706895 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.209531°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60397 KachelY 78805 -0.24634773 -0.59706895 -14.114685 -34.209531
    Oben rechts KachelX + 1 60398 KachelY 78805 -0.24629979 -0.59706895 -14.111938 -34.209531
    Unten links KachelX 60397 KachelY + 1 78806 -0.24634773 -0.59710859 -14.114685 -34.211802
    Unten rechts KachelX + 1 60398 KachelY + 1 78806 -0.24629979 -0.59710859 -14.111938 -34.211802
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59706895--0.59710859) × R
    3.96400000000074e-05 × 6371000     		dl = 252.546440000047m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59706895--0.59710859) × R
    3.96400000000074e-05 × 6371000     		dr = 252.546440000047m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24634773--0.24629979) × cos(-0.59706895) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.826987062612709 × 6371000     		do = 252.583135568894m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24634773--0.24629979) × cos(-0.59710859) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.826964775524464 × 6371000     		du = 252.576328518474m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59706895)-sin(-0.59710859))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.826987062612709-0.826964775524464)×R²
    abs(-0.24629979--0.24634773)×2.22870882450321e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.22870882450321e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.22870882450321e-05×40589641000000     		ar = 63788.1121521165m²