Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60397 / 40787
↖ ↑ ↗
← N 56.042897°
W 14.114685°		 ← 170.60 m → N 56.042897°
W 14.111938°		 →
↑
170.62 m
↓
↑
170.62 m
↓
N 56.041363°
W 14.114685°		 ← 170.61 m →
29 108 m²		 N 56.041363°
W 14.111938°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60397 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40787 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460796356201172 y=0.311183929443359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460796356201172 × 217)
    floor (0.460796356201172 × 131072)
    floor (60397.5)     		tx = 60397
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.311183929443359 × 217)
    floor (0.311183929443359 × 131072)
    floor (40787.5)     		ty = 40787
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60397 / 40787 ti = "17/60397/40787"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60397/40787.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60397 ÷ 217
    60397 ÷ 131072     		x = 0.460792541503906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40787 ÷ 217
    40787 ÷ 131072     		y = 0.311180114746094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460792541503906 × 2 - 1) × π
    -0.0784149169921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24634773
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.311180114746094 × 2 - 1) × π
    0.377639770507812 × 3.1415926535     		Φ = 1.18639032869677
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24634773} λ = -0.24634773}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18639032869677))-π/2
    2×atan(3.27523731381902)-π/2
    2×1.27446470408462-π/2
    2.54892940816923-1.57079632675     		φ = 0.97813308
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24634773} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.114685°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97813308 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.042897°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60397 KachelY 40787 -0.24634773 0.97813308 -14.114685 56.042897
    Oben rechts KachelX + 1 60398 KachelY 40787 -0.24629979 0.97813308 -14.111938 56.042897
    Unten links KachelX 60397 KachelY + 1 40788 -0.24634773 0.97810630 -14.114685 56.041363
    Unten rechts KachelX + 1 60398 KachelY + 1 40788 -0.24629979 0.97810630 -14.111938 56.041363
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97813308-0.97810630) × R
    2.6780000000004e-05 × 6371000     		dl = 170.615380000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97813308-0.97810630) × R
    2.6780000000004e-05 × 6371000     		dr = 170.615380000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24634773--0.24629979) × cos(0.97813308) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.558572047296265 × 6371000     		do = 170.602280888764m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24634773--0.24629979) × cos(0.97810630) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.558594259927841 × 6371000     		du = 170.6090651982m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97813308)-sin(0.97810630))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.558572047296265-0.558594259927841)×R²
    abs(-0.24629979--0.24634773)×2.22126315766458e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.22126315766458e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.22126315766458e-05×40589641000000     		ar = 29107.9517382623m²